【-1≦相関係数ｒ≦+１】の証明について

質問

【-1≦相関係数ｒ≦+１】の証明を
シュヴァルツの不等式を使わずに行なったのですが
☆の部分について、教えて頂きたいと思っております。
よろしくお願いいたします。

xiとyiについて
zi=(xi-xbar)/Sx（・・・・・・xbar：xの平均値、Sx：標準偏差）
wi=(yi-ybar)/Sy（・・・・・・ybar：yの平均値、Sy：標準偏差）
とするとき
r=(1/n)Σziwiであるので

【証明】
(1/n)Σ(zi±wi)^2=(1/n)Σ(zi^2±2ziwi＋wi^2）(・・・^2＝二乗）
=(1/n)Σzi^2±(1/n)Σ2ziwi＋(1/n)Σwi^2
☆=1±2r+1☆
=2(1±r）
左辺は二乗なので常にプラスである。
1±r≧0よって
-1≦ｒ≦+１
と言うところまで色々あって分かったような気がします。

そこで質問なのですが
☆のところで
（1/n)Σzi^2と(1/n)Σwi^2が
１に変化するのはナゼですか。

ziとwiの分散については標準化した値であることから
両方とも「１」であるのは分かるのですが
（1/n)Σzi^2と(1/n)Σwi^2が分散の式とどうしてイコールなのか
わかりません。
よろしくお願いいたします。

回答No.5

zk43 · ベストアンサー

E(X)は確率変数Xの期待値・平均という意味。
Expectationの頭文字ですかね。
これを使うと、E(X+Y)=E(X)+E(Y),E(aX)=aE(X)のように関数のように
扱えて便利。
ほかにV(X)はXの分散、D(X)はXの標準偏差を意味します。
VarianceとStandard Deviationから。
C(X,Y)あるいはCov(X,Y)はX,Yの共分散（Covariance）
R(X,Y)あるいはρ(X,Y)はX,Yの相関係数（Correlation Coefficient)
も良く使います。
確率・統計では一般的に使う記号です。
小文字のsxとか使うときは定数として使うとき、Eとか使うときは関数
として扱うとき、のような感じですかね。厳密な使い分けはないですけ
ども。場面によって使いやすい方を使うということで。

お礼

ありがとうございます。とても分かりやすいです。
これでぜんぶ分かったと思います。

回答No.4

zk43

E[(X-mx)^2]＝sx^2
E[(Y-my)^2]＝sy^2
E[(X-mx)(Y-my)]＝sxy
であり、nは掛かりません。
そもそも、分散というのは確率変数の平均からのずれの２乗の平均、
共分散というのは２つの確率変数の平均からのずれの積の平均です。
離散型ならば、E[(X-mx)^2]＝Σ(xi-mx)^2/nのようになっているので、
E[(X-mx)^2]のほうに1/nが含まれているということです。
Σ(xi-mx)^2だけでは、単に確率変数の平均からのずれの２乗和を取っ
ていることになり、平均ではありません。これをｎで割って初めて
平均になります。

定義そのものの理解が怪しい印象を受けるので、相関係数の前にもう一
度、平均、分散、標準偏差、共分散を復習された方が良いような印象を
受けます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
お恥ずかしいかぎりです。
すみません、「E=Σ」だと誤解していました・・・。
この「E」を見たことが無いのですがどういう意味でしょうか。
検索したのですが分かりませんでした。
再度本当にお手数ですがよろしくお願いいたします。

回答No.3

zk43

ご質問の証明は離散型の確率変数の場合なので、一般的な証明として、
確率変数X,Yに対して、Z=(X-mx)/sx±(Y-my)/sy
という確率変数の２乗の平均を考えれば良いと思います。
ここに、mx,myはそれぞれX,Yの平均、sx,syはそれぞれX,Yの標準偏差。

0≦E(Z^2)=E[(X-mx)^2/sx^2±2(X-mx)(Y-my)/sxsy+(Y-my)^2/sy^2]
=E[(X-mx)^2]/sx^2±2E[(X-mx)(Y-my)]/sxsy+E[(Y-my)^2]/sy^2
=sx^2/sx^2±2sxy/sxsy+sy^2/sy^2
=1±2rxy+1
=2(1±rxy)
ここに、sxyはX,Yの共分散、rxyはX,Yの相関係数。
よって、-1≦rxy≦1

（1/n)Σzi^2が1になるのは、
E[(X-mx)^2/sx^2]＝E[(X-mx)^2]/sx^2=sx^2/sx^2=1
が対応しています。

お礼

ありがとうございます。よく分かりました！
離散的な確率変数の話でしたか・・・。

一点、質問をお願いいたします。
E[(X-mx)^2]/sx^2＝sx^2/sx^2
なのはこのひとつ手前の式が
E[(X-mx)^2]＝ｎSx^2
2E[(X-mx)(Y-my)]/sxsy＝nsxy/sxsy
E[(Y-my)^2]＝ｎSy^2
で
すべての項にあったｎを消しているから、という解釈でよかったのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

noname#101087

>（1/n)Σzi^2と(1/n)Σwi^2が分散の式とどうしてイコールなのか....

標準偏差(Sx)の定義を見なおしてください。

たとえば、
　　Sx^2 = (1/n)Σ(xi-xbar)^2
ですね。

一方、
　　zi^2 = (xi-xbar)^2/Sx^2
ですから、その総和をとって n で割ると、
　　(1/n)Σ(xi-xbar)^2/Sx^2 = Sx^2/Sx^2 =1
になる、ということじゃないのでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
すみません（＞＜）統計あんまり得意じゃないもので
ちょっと分からないのですが
＞総和をとって n で割ると、
とありますがこの場合、式のほかの部分についても
総和をとってnで割っているのでＯＫという解釈でよかったでしょうか。

回答No.1

Mr_Holland

(1/n)Σzi^2
＝(1/n)Σ{(xi-xbar)/Sx}^2
＝(1/Sx^2)(1/n)Σ(xi-xbar)^2
＝(1/Sx^2)Sx^2　　　　　　（∵ 分散の定義より、(1/n)Σ(xi-xbar)^2＝Sx^2 )
＝１

　wiについても同様に、
　(1/n)Σwi^2
＝(1/n)Σ{(yi-xbar)/Sy}^2
＝(1/Sy^2)(1/n)Σ(yi-ybar)^2
＝(1/Sy^2)Sy^2
＝１

お礼

早い回答をありがとうございます！
そうかーそこからSxが出てくるんですね。
よくわかりました。