- ベストアンサー
log が入った不等式の証明
log( Σ(xi yi) ) ≧ Σ( xi log(yi) ) (i = 1, 2, ..., n、 xi, yi ∈[0, 1] かつ Σxi = 1, Σyi = 1 ) という不等式が成り立ちますが、証明はどうすれば良いのでしょうか？ たとえば、「 log(x1 y1 + x2 y2) ≧ x1 log(y1) + x2 log(y2) 」を x1, y1 に、[0,1]の範囲でいろいろな数値を当てはめて電卓で計算すると、確かにかならず正になります。[0,1]を超えると成立しません。 左辺ー右辺 ＝ log(x1 y1 + x2 y2) ー （x1 log(y1) + x2 log(y2)） をやろうとしたのですが、これ以上前に進めないんですよね。特に、i = 1,2, ..., n ですし。 よろしくお願いいたします。
- white-tiger
- お礼率43% (1028/2383)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- graduate_student
- ベストアンサー率22% (162/733)
証明問題は「実験」してみることが大切です． white-tigerさんはi=1,2,…のように値を当てはめて不等式が成り立つことは理解しています． i=1,2は具体的な数字なので，これを全ての自然数について成り立つことを証明しなければなりません． そこで使う武器は「数学的帰納法」です． この方法を使ってまずは自分で解いてみてください． n=kのとき log(x1*y1+…+xk*yk)-(x1log(y1)+…+xklog(yk))≧0 n=k+1のとき log(x1*y1+…+xk+1*yk+1)-(x1log(y1)+…+xk+1*log(yk+1))=下に続く log(x1*y1+…xk*yk+xk+1*yk+1)-(x1log(y1)+…+xk+1*log(yk+1)) というようにしてみてください．
補足
実は、上に書いた、 log(x1 y1 + x2 y2) ー （x1 log(y1) + x2 log(y2)）≧ 0 も証明できていないのです。 Σxi = 1, Σyi = 1 から、x2 = 1 -x1, y2 = 1 - y1 を代入するところまではやったのですが、log の中が全然違うので比較できません。しかも、変数が２つあるので・・。
関連するQ&A
- 不等式の証明
n を2 以上の自然数とするとき、次の不等式を証明せよ。 ( 1 / 1^2 ) + ( 1 / 2^2 ) + ( 1 / 3^2 ) + ・・・・ + ( 1 / n^2 ) ＜ 2 - ( 1 / n ) ( I ) n = 2 のとき （ 左辺 ） = ( 1 / 1^2 ) + ( 1 / 2^2 ) = 1 + ( 1 / 4 ) = 5 / 4 ( 右辺 ) = 2 - ( 1 / 2 ) = 3 / 2 = 6 / 4 ∴ （ 左辺 ) ＜ ( 右辺 ) ( II ) n = k ( k ≧ 2 ) のとき成立を仮定 ( 1 / 1^2 ) + ( 1 / 2^2 ) + ・・・・ + ( 1 / k^2 ) ＜ 2 - ( 1 / k ) 両辺に 1 / ( k + 1 )^2 を加えて ( 1 / 1^2 ) + ( 1 / 2^2 ) + ・・・・ + ( 1 / k^2 )+ { 1 / ( k + 1 )^2 } ＜ 2 - ( 1 / k ) + 1 / ( k + 1 )^2 この後どうやって証明するかわかりません。教えてください、お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この式の答えを教えてください
この式のn・Ｘｉ・Ｙｉにはどの数値が入るのか教えてください X1=1 X2=2 X3=3 Y1=2 Y2=3 Y3=4 n Ｚ＝n*∑(Xi)＾2(Yi)＾2 i=1
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 自然数nについての等式証明
次の等式を証明する際に、式を見ていくと、 2nπ=0になったり、結果1になったりする理由が分かりません。ご回答お待ちしています。 e^2nπi = 1 左辺=cos(2nπ) + i sin(2nπ) =cos 0 + i sin 0 =1=右辺//
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 以下の不等式の証明を少し頭使いながらやってみました。
以下の不等式の証明を少し頭使いながらやってみました。 n,kを正の整数、x1,x2,・・・・,xnを正の実数とする。このとき x1^k＋x2^k＋・・・・＋xn^k≧((x1＋・・・＋xn)^k)/n^(k-1) ・・・・・(#) が成立することを示せ。 (説明)普通は数学的帰納法で示す(模範回答で確認済み)が、ここでは少し見方を変えて示す。 まずk=1のとき (#)の右辺,左辺ともにx1＋・・・・＋xnで等号成立する。 以降k≧2とする。 まずx1=・・・・・=xn=aのとき (#)の右辺,左辺ともにna^kで等号成立する。 次に0<x1<x2≦x3≦・・・・・≦xnとする。 (#)の両辺に1/nをかけて (x1^k＋x2^k＋・・・・＋xn^k)/n≧((x1＋・・・＋xn)/n)^k ・・・・・(##) を示す。 ここでx1,・・・,xnの平均xa=(x1＋・・・＋xn)/nとし、区間[x1,xn]内で任意にx2,x3,・・・ ・,x(n-1)を(x1,xnを先に定めて)プロットする。そして f(x)=x^k (k≧2)について考える。またx1<xa≦xnである。 g(x)を(xa,f(xa))についての接線の方程式とすれば f(xa)=(g(x1)＋g(x2)＋・・・・・＋g(xn))/n である。 さらにf(x)は区間[x1,xn]において下に凸だから f(x1)>g(x1),f(x2)≧g(x2),・・・,f(xn)≧g(xn) が成り立つ。 したがって (f(x1)＋・・・・＋f(xn))/n ＞(g(x1)＋g(x2)＋・・・・・＋g(xn))/n=f(xa) となる。 よってxa=(x1＋・・・＋xn)/n ,f(x)=x^k から (##)が言えて、(#)が以上から成り立つことが言えた。 模範解答にもこの方法は載っておらず、独自で思いついて示しました。この証明方法でも良いですか？ ここのポイントはy=f(x)=x^kと(xa,f(xa))についての接線の方程式を考えればうまく応用できるというところです。問題は間違っていないかどうかですが自分でも面白く感動しました。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明（大学受験問題）
お世話になります。 問題は、0≦ｘ≦π/2のとき、不等式2x/π≦sinxが成立することを示せです。 ヒントとして、微分法を用いるか、y=sinxのグラフの凸性に注目とあります。 自分は、微分法でやろうと、右辺引く左辺が常に０より大きいを証明しようと思いました。 が、微分すると、f'(x)＝cosx-2/πとなり、f'(x)＝０のときのxを求めようと思いましたが、求められず、困ってしまいました。 そこで、質問なのですが、この後、どういうふうに解答を作っていけばよいでしょうか。どうぞよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 等式の証明
(1)等式（x^2-ny^2）（z^2－nt^2）＝（xz＋nyt）^2-n（xt+yz）^2 を示せ (2)x^2-2y^2＝-1 の自然数解（ｘ、ｙ）が無限組であることを示し、ｘ＞１００となる解を一組求めよ という問題を解いています (1)は左辺＝xz^2-nt^2x^2-ny^2z^2＋n^2t^2y^2 となり右辺も計算したところ同じになりました これで示したことになるのでしょうか？ (2)なのですが、問題の意味合いがよくわからなく、(1)との関連がよくつかめません。とりあえずn=2を代入してみるとt^2=1というのが出てきました。これは関係ありませんか？ 以上2点について教えていただけるとありがたいです 宜しくお願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 等式証明（シグマ記号入り）
(1)ｎを自然数とするとき、次の等式が成り立つことを示せ ｘ Σ[k=1,n]ｋ(1+x)^(k-1)＋Σ[k=1,n+1](1+x)^(k-1)＝(n+1)(1+x)^n この問題なのですが、左辺を計算しても右辺に持っていくことができませんでした。(1+x)^(k-1)というのが左辺の2つの項にあるのですがΣがあるので因数分解もできなく困っています。この共通している部分を生かせるのでしょうか？ それとも左辺を計算させて右辺に一致させるのではなく数学的帰納法を使うのでしょうか？ 回答宜しくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- LC211BKインクを純正で交換したが、印刷ができない問題が発生しています。
- Windows最新のパソコンで無線LAN接続している環境です。
- 電話回線はひかり回線を使用しています。
お礼
まさにそうですね！ ありがとうございます。