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証明できません

ξi=Xi-x/Sx, ηi=Yi-y/Sy (i=1,2,3…,n)　(2)→二乗 ただし、Sx,Syはxおよびyの標本の標準偏差とする。 　rxy=1/nΣξiηi=Sxy/SxSy Σξ=Ση＝０、Σξ(2)＝Ση(2)＝ｎ であって、実数値をとる変数をｔとして ｆ(t)=Σ(ηiーtξi)(2)、rxy=r とおけば f(t)=Ση(2)－２ｔ（Σξη）(2)＋ｔ(2)（Σξ(2)）＝ｎ（ｔ(2)－２ｒｔ＋１） 　　＝（ｔ(2)－２ｒｔ＋１） 　　＝ｎ｛（ｔ-r）(2)＋（１－ｒ(2)）｝ 　　が得られる。ここで、すべてのｔの値に関して 　　ｆ（ｔ）≧０、（ｔ－ｒ）(2)≧０ が成り立つので、ｆ（ｔ）の最小値について 　　min　ｆ（ｔ）＝ｆ（ｒ）＝１－ｒ(2)≧０→なぜこの式になるのかが理解できません。教えて下さい。 　

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  • stomachman
  • ベストアンサー率57% (1014/1775)
回答No.1

ご質問の前半部分は、どうも括弧の使い方が正しくないようですけれど、おそらく、 「相関係数 r は必ず -1≦r≦1 を満たす」 ということの証明をやっているんだと思います。問題は二つに分割できます。 以下では２乗を^２ と書いています。xの2乗なら x^2というふうに。 （問題1) f(t)=Σ(ηiーtξi)^2 と定義してイロイロ頑張ってみたら f(t)=n( (t-r)^2 + (1-r^2) ) であると分かった。ここで、nもrも定数であるとしたとき（つまりtだけを動かして）f(t)の最小値はいくらか。(ただしn＞0） 「rは相関係数である」なんてことは完全に忘れて、ただの定数だと思えば、放物線の極小を求める問題。易しいですね。 もちろんf(t)はt=rのときに最小値 f(r)=n(1-r^2) を取ります。（ご質問の最後の式は間違っています。） (問題2) -1≦r≦1を証明しろ ●元々の定義 f(t)=Σ(ηiーtξi)^2 から、（(ナニカの2乗)≧0であり、それを幾つ足しても≧0なので、）tが幾らであろうと f(t)≧0 が満たされることは自明です。この不等式はtに何を代入しても成り立つから、rを代入すれば f(r)≧0 です。また問題1より f(r)=n(1-r^2) であるから、 n(1-r^2)≧0 ここでn＞0（これは暗黙の前提ですね）だから (1-r^2)≧0 つまり -1≦r≦1 です。

yy0311
質問者

お礼

とても参考になりました★ ありがとうございました♪

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