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偏差平方和の式

初歩的な質問で恐縮です。相関分析の参考書に Sx=Σ(xi-xbar)^2=Σxi^2-(Σxi)^2/n とあります。 この式の証明方法を教えていただけないでしょうか? この分野はあまり得意でなく困っております。 言葉を添え丁寧に教えていただくと助かります。 勝手申しますが、よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

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回答No.1

個人的な書きやすさのため xbarをaverage(x)って書き xiをx(i)と書くことにする。 なお Σ(x(i))^2は (x(1) + x(2) + x(3))^2を Σ(x(i)^2)は (x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2)を それぞれ意味するものとする。  平均って,定義から明らかに average(x) = Σ(x(i))/n ・・・A だよな。 Σ(x(i) - average(x))^2 =(x(1) - average(x))^2 +(x(2) - average(x))^2 +(x(3) - average(x))^2 +… +(x(n) - average(x))^2 =(x(1))^2 - 2 * x(1) * average(x) + (average(x))^2 +(x(2))^2 - 2 * x(2) * average(x) + (average(x))^2 +(x(3))^2 - 2 * x(3) * average(x) + (average(x))^2 +… +(x(n))^2 - 2 * x(n) * average(x) + (average(x))^2 = Σ(x(i)^2) - 2 * average(x) * Σ(x(i)) + n * (average(x))^2 ここでAをaverage(x)に代入すると Σ(x(i)^2) - 2 * average(x) * Σ(x(i)) + n * (average(x))^2 = Σ(x(i)^2) - 2 * Σ(x(i)) / n * Σ(x(i)) + n * (Σ(x(i)) /n )^2 = Σ(x(i)^2) - 2 * Σ(x(i)) ^ 2 /n + Σ(x(i))^2 / n = Σ(x(i)^2) - Σ(x(i))^2 / n

その他の回答 (3)

  • Ishiwara
  • ベストアンサー率24% (462/1914)
回答No.4

他の方と同じことをやっているわけですが、このような式の計算は、なるべく記号を簡単にするほうが見やすくなります。例えば、xiを単にxとし、xbarをAとします。 Σ((x-A)^2) -----2乗を展開 =Σ(x^2)-2AΣx+Σ(A^2) -----Aを(Σx)/nと置き換える =Σ(x^2)-2((Σx)/n)Σx+Σ(((Σx)/n)^2) -----第3項は定数のΣだからn倍としても同じ =Σ(x^2)-2(((Σx)^2)/n)+n((Σx)^2)/(n^2) -----第2項は第3項の-2倍と判明した =Σ(x^2)-((Σx)^2)/n

sohchan
質問者

お礼

皆様懇切丁寧なご指導ありがとうございました。 おかげさまで理解できました。 お二人しか評価できないのが残念です。

  • kumipapa
  • ベストアンサー率55% (246/440)
回答No.3

xbar = Σxj / n なんだけど、xbar はそういう計算結果であって、与式の中では定数なんだな。 だから単純に、 Σ(xi - xbar)^2 = Σ(xi^2 - 2 xbar・xi - (xbar)^2) = Σxi^2 - 2 xbar Σxi + n (xbar)^2 = Σxi^2 - 2 n (xbar)^2 + n (xbar)^2  (∵ Σxi = n xbar) = Σxi^2 - n (xbar)^2 = Σxi^2 - (Σxi)^2 / n  (∵ xbar = (Σxi) / n )

回答No.2

自分で書き方変えといて書き間違えてる Σ(x(i) - average(x))^2 =(x(1) - average(x))^2 ではなく Σ((x(i) - average(x))^2) の誤り

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