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expの問題がどうしてもわかりません。
expの問題がどうしてもわかりません。 どなたか数学の得意な方教えてください。 nが自然数のとき、次の式が成り立つことを証明せよ。 ∫x^n exp(-x)dx=n! [0~∞]
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- proto
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まず適当に I[n] = ∫[0~∞]{(x^n)*exp(-x)}dx と置く、 I[n] = ∫[0~∞]{(x^n)*(-exp(-x))'}dx と見て部分積分すると I[n] = [-(x^n)*exp(-x)]_0~n +∫[0~n]{n*(x^(n-1))*exp(-x)}dx = 0 +n*∫[0~n]{(x^(n-1))*exp(-x)}dx = n*I[n-1] よって、I[n]の漸化式が得られた。 また、n=0のときは I[0] = ∫[0~∞]{exp(-x)}dx = [-exp(-x)]_0~∞ = 1 ここからは数列の問題、 I[0] = 1 I[n] = n*I[n-1] から、 I[n] = n! となることを証明する。 具体的には数学的帰納法を使えばよい。
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