統計学の定理について質問です

質問

V(X)=E(X^2)-(EX)^2　を使って次の式を示せ。
　　　　　　　　　σ^2
(1) V(Xバー)=――――
　　　　　　　　　 n

　　　　　　　　　　(n-1)
(2) V(Xi-Xバー)=―――― σ^2
　　　　　　　　　　　n

というものです。証明の仕方など習っていなくて、各自で調べることとゆうことなのですが、どうやって証明したらよいのかわからないので教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

kony0

質問の仕方がいろいろと不十分な点もありますが、
おそらくなにが不十分なのかを「訂正しろ」ではなく、伝えるべきなんでしょうね。

まず、bar(X)がなにかの説明をきちんとしましょう。
おそらく、X1,X2,...,Xnというのがあって、これらは独立でかつ分散がσ^2の分布に従う確率変数なのでしょう。
で、bar(X)はこれらの標本平均、すなわちbar(X) = (1/n)(X1+X2+...+Xn)

ということを仮定して。あとは計算するだけでOKですよ。

V[bar(X)] = V[(1/n)(X1+X2+...+Xn)]
= (1/n^2) V[X1+...+Xn]（V[kX] = k^2*V[X]という公式がありますね）
= (1/n^2) (V[X1]+...+V[Xn])（X1,...,Xnが互いに独立だから）
= (1/n^2)*nσ^2

V[Xi-bar(X)] = V[((n-1)/n)Xi - (1/n)Σ_{1<=k<=n, k isn't i} (1/n)Xk]
= {((n-1)/n)^2 + (n-1)*(1/n)^2}σ^2

補足

さっそくの回答ありがとうございました。
質問の仕方が不十分で大変申し訳ありません。

それぞれについてはkony0さんのおっしゃるとおり
X1,X2,...,Xn：独立
V(X)=σ^2
bar(X) = (1/n)(X1+X2+...+Xn)
と定義されていたようです。
あと補足させていただくと、
EX=μ
となっていました。

丁寧な回答本当に感謝します。
ありがとうございました。