ピタゴラスの定理

質問

定理（ピタゴラスの定理）
{Xn}[Σn=1～N] を内積空間Ｖの中の正規直交系であるとする。すべての X∈Ｖ について
　　||X||^2 ＝ Σ[n=1～N]|(X,Xn)|^2 ＋ ||X－Σ[n=1～N](Xn,X)Xn||^2
が成り立つ。
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この証明で、内積の性質から
　　Σ[n=1～N](Xn,X)Xn　と　X－Σ[n=1～N](Xn,X)Xn　は直交である
と、参考書に書かれていたのを使って証明したのですが・・・

肝心の直交であることの証明が上手くいきませんでした。

　　( Σ[n=1～N](Xn,X)Xn , X－Σ[n=1～N](Xn,X)Xn )
　　　　＝ Σ[n=1～N]|(Xn,X)|^2 － ||Σ[n=1～N](Xn,X)Xn||^2
　　　　＝ ０

↑となるハズなのですが・・・、２つの等式が上手く説明できませんでした。
簡単な問題かもしれませんが、力を貸してくれたら幸いです。

また、この定理が何故「ピタゴラスの定理」というのかが分かりません。

協力お願いします。

回答No.3

arrysthmia

＞この定理が何故「ピタゴラスの定理」というのかが分かりません。

N 次元空間 V の中で、
Σ[n=1～N](Xn,X)Xn と X－Σ[n=1～N](Xn,X)Xn の組を基底とする
2 次元部分空間を考えてみましょう。この平面内で、
初等幾何の「ピタゴラスの定理」は、どう表現されますか？

回答No.2

noname#101087

(Σ(Xn,X)Xn, X - Σ(Xn,X)Xn)
= (Σ(Xn,X)Xn, X) - (Σ(Xn,X)Xn, Σ(Xn,X)Xn )
と変形すれば、すぐゴールですね。

>何故「ピタゴラスの定理」というの ....

N = 2 の例をイメージするとわかります。
　||X||^2　…斜辺長の二乗
　Σ|(X,Xn)|^2 と ||X－Σ[n=1～N](Xn,X)Xn||^2　垂辺長と底辺長の各二乗

回答No.1

koko_u_

{X_n} は正規直交系なんじゃろ？