最少二乗推定量の共分散Cov(αハット,βハット)

質問

最少二乗推定量の共分散Cov(αハット,βハット)の計算について教えてください。

☆ci=(xi-xバー)/[i=1,n]Σ(xi-xバー)^2
☆xバー=1/n*[i=1,n]Σxi
☆E(αハット)=α
☆E(βハット)=β
☆誤差項εiの分散はσ^2

とするとき・・・・・

Cov(αハット,βハット)
=Cov(α+[i=1,n]Σ(1/n-ci*xバー)*εi,β+[i=1,n]Σci*εi)・・・(i)
=Cov([i=1,n]Σ(1/n-ci*xバー)*εi,[i=1,n]Σci*εi)・・・(ii)
=E(([i=1,n]Σ(1/n-ci*xバー)*εi)*([i=1,n]Σci*εi))・・・(iii)
=E([i=1,n]Σ(1/n-ci*xバー)*ci*εi^2)・・・(iv)
=[i=1,n]Σ(1/n-ci*xバー)*ci*E(εi^2)・・・(v)
=σ^2*[i=1,n]Σ(1/n-ci*xバー)*ci・・・(vi)
=(-xバー*σ^2)/[i=1,n]Σ(xi-xバー)^2・・・(vii)

こうやって計算するみたいんですが、
計算式の(ii),(iii),(vi),(vii)がどうしてそうなるのかわかりません。

どなたか、わかりやすく教えてください！！！

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

（ii）について

（i）から（ii）への変形は、αやβといった定数が差し引かれているだけです。２つの確率変数の共分散は、それぞれの確率変数から定数を差し引いても不変なので、このような変形が可能です。

（iii）について

２つの確率変数X、Yの共分散Cov(X, Y)は、

　　Cov(X, Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))

で定義されます。

　　X= [i=1,n]Σ(1/n-ci*xバー)*εi

　　Y=[i=1,n]Σci*εi

とすれば、E(X)=E(Y)=0なので、上の定義式に当てはめて（iii）が得られます。なお、質問にはっきり書いてありませんが、E(εi)=0を仮定しているはずです。

（iv）を飛ばして（v）について

（iii）のシグマの中を項別に掛け算して

　　 E(([i=1,n]Σ(1/n-ci*xバー)*εi)*([i=1,n]Σci*εi))

　　　=E( [i=1,n;j=1,n]Σ(1/n-ci*xバー)*εi*cj*εj)

　　　=E( [i=1,n;j=1,n]Σ(1/n-ci*xバー)* cj *εi *εj)

　　　= [i=1,n;j=1,n]Σ(1/n-ci*xバー)* cj * E(εi *εj)

となります。なお、最後の変形は、Eの中の足し算や定数倍がEの外に出せることを使っています。

また、これも質問にはっきり書いてありませんが、E(εi *εj)=0を仮定しているはずです。したがって、上の式は、j=iのときだけの和になって、

　　=[i=1,n]Σ(1/n-ci*xバー)*ci*E(εi^2)

となります。

（vi）について

E(εi)=0ですから、

　　E(εi^2)＝「εiの分散」＝ σ^2

です。

（vii）について

（vi）のciに、ci=(xi-xバー)/[i=1,n]Σ(xi-xバー)^2を代入します。