エルミート補間の誤差の定理について

質問

こんにちは。最近、エルミート補間公式を勉強していまして、そこで出てきた定理についての質問です。
定理
　点X0,X1,...Xnが区間[a,b]にあり、fが(2n＋2）級である。
　p(Xi)=f(Xi),p'(Xi)=f'(Xi) (0<=i<=n)
を満たすとき、(2n＋1)次の多項式ｐがあれば、

　f(X)-p(X)={f(2n＋2)(ξ)*Π(i=0→n)(X-Xi)^2}/(2n＋2)!
（ただし、f(2n＋2)はｆの(2n＋2)回微分という意味です。）
を満たすξが(a,b)に存在する。

という定理を証明したいのですが、途中でわからなくなりました。
自分で、考えた解答→

w(X)=Π(i=0→n)(X-Xi)^2・・・・(1)とおき、
f(X)=p(X)+G(X)*w(X)・・・・(2)となるG(X)求める。
X=Xiでないときは、G(X)={f(X)-p(X)}/w(X)・・・・(3)となり、G(X)は
求まる。次に、X=Xiのときも、w'(Xi)=0しかしw''(Xi)=0でない。
よって、ロピタルの定理より
G(Xi)=lim(X→Xi){f''(X)-p''(X)}/w''(X)={f''(Xi)-p''(Xi)}/w''(Xi)・・・・(4)
となりG(X)は求まる。
(ア)X=Xiでない(i=0,1,,,,n)のとき
w(X)=0でないので、G(X)が求まり、このXを固定して、zの関数として、
φ(z)=f(z)-p(z)-w(z)*G(X)・・・・(5)
を考える。φ(z)はz=X,X0,X1,,,,,Xnの(n+2)個の点で０になるので、
ロルの定理より、
φ'(z)は、これらの点の間にある(n+1)個の点で０になる。
・・・・・

質問１；これから先がわからないのでアドバイスがほしいです。
質問２；ここまでの解答で間違っているところはないですか？？

自分で考えて、限界がきたので質問させてもらいました。アドバイスよろしくお願いします＞＜

回答No.4

tecchan22 · ベストアンサー

完璧ですね。^^

僕も勉強になって良かったです。

お礼

ありがとうございます。　　
本当に、親切にしていただいて、ありがとうございました。

これからも、数学を頑張っていきたいと思います＾＾

回答No.3

tecchan22

おお、かなりいいじゃないですか。^^

＞また、φ(Xi)=0(i=0,1,,,n)は、(5)とw(X)の性質より、明らかなので、

φ'(xi)=0のことですね。これは明らかとするより、ちゃんと計算して見せたほうがいいかも知れませんが・・。

＞φ'(z)は(2n+2)個の異なる点で０になる。よって、ロルの定理
を繰り返し用いると、
φ(2n+2)(ξ)=0・・・・(6) (φ(2n+2)はφの(2n+2)回微分です。)
となるξが、X,X1,X2,,,,Xnの作る区間の中に少なくとも１つ存
在する。

いいですね～。
ロルの定理を一回用いると、
φ'’(z)は(2n+1)個の異なる点で０になる。
もう一回用いると、
・・・
となっていくんですよね。

＞ここで、p(z)は(2n+2)次の多項式だから、

(2n+1)次のケアレスミスですね。

＞（イ）X=Xi(i=0,1,,,,n)のとき、
　(4)より、φ''(Xi)=0
φ(Xi)=0,φ'(Xi)=0(i=0,1,,,,n)にロルの定理を用いると、
　　・・・・・
　　・・・・・
ん～～この方法は無理ですかね＞＜
もう少しっすね＞＜

いやいや、もう終わってるんですよ。
f(xi)=p(xi),w(xi)=0だから、ξをどういう値にとっても、定理の式は
成り立つんです。x=xi（i=0,1,…,n)のときは。

だから、x=xi（i=0,1,…,n)のときは、定理は自明なんですよ。

補足

おはようございます。
（イ）については、理解できました＾＾
「また、φ(Xi)=0(i=0,1,,,n)は、(5)とw(X)の性質より、明らかなので、φ'(xi)=0のことですね。これは明らかとするより、ちゃんと計算して見せたほうがいいかも知れませんが・・。」
についてですが、
(5)をzで微分すると、
φ'(z)=f'(z)-p'(z)-w'(z)*G(X)
z=Xiを代入して、
φ'(Xi)=f'(Xi)-p'(Xi)-w'(Xi)*G(X)
また、w'(Xi)=0,f'(Xi)=p'(Xi)より
φ'(Xi)=0
よって、φ'(z)は(2n+2)個の異なる点で０
になる。・・・・・

こんな感じでしょうか＾＾

回答No.2

tecchan22

No１です。勉強してきました。

ξはxに依存して決まる（ｘの値に応じて選ぶ）のですね。了解です。

ええと、今までの解答で間違いはなさそうですね。

(5)の関数を考えるのが重要なんですよね。

ヒントは、
・φ(z) の作り方から、φ(xi)も０ですが、φ'(xi)も０になりませんか？
・そうすると、φ'(z)は区間内の(2n+2)個の点で０になりますよね。
・あとは、ロルの定理を繰り返して、φ(2n+2)(z)が、区間内のある１点で０になることを示します。これで終わりですね。
・x=xiの場合は、定理の式の左辺も右辺も０になるので、ξは何を取ってもいいですから、明らかですね。だから、(ア)より上は、いらないかと・・。

φ(z)を考えるところが、賢いですよね・・。
頑張って下さい。

参考URL：

http://www.nc.ics.saitama-u.ac.jp/~sigehara/lecture_notes/na_I/2004/lec2.pdf

補足

丁寧なお返事ありがとうございます＾＾解答の続きを考えました。

(ア)X=Xiでない(i=0,1,,,,n)のとき
w(X)=0でないので、G(X)が求まり、このXを固定して、zの関数として、
φ(z)=f(z)-p(z)-w(z)*G(X)・・・・(5)
を考える。φ(z)はz=X,X0,X1,,,,,Xnの(n+2)個の点で０になるので、
ロルの定理より、
φ'(z)は、これらの点の間にある(n+1)個の点で０になる
また、
φ(Xi)=0(i=0,1,,,n)は、(5)とw(X)の性質より、明らかなので、
φ'(z)は(2n+2)個の異なる点で０になる。よって、ロルの定理
を繰り返し用いると、
φ(2n+2)(ξ)=0・・・・(6) (φ(2n+2)はφの(2n+2)回微分です。)
となるξが、X,X1,X2,,,,Xnの作る区間の中に少なくとも１つ存
在する。よって、(5)は、
φ(2n+2)(ξ)=f(2n+2)(ξ)-p(2n+2)(ξ)-w(2n+2)*G(X)=0
(φ(2n+2)はφの(2n+2)回微分、f(2n+2)はfの(2n+2)回微分、p(2n+2)はpの(2n+2)回微分、w(2n+2)はwの(2n+2)回微分です)

ここで、p(z)は(2n+2)次の多項式だから、
p(2n+2)(z)=0より、p(2n+2)(ξ)=0 (p(2n+2)はpの(2n+2)回微分)
また、w(2n+2)(z)=(2n+2)!よりw(2n+2)(ξ)=(2n+2)!
(w(2n+2)はwの(2n+2)回微分)
よって、
f(2n+2)(ξ)-0-(2n+2)!*G(X)=0
G(X)={f(2n+2)(ξ)}/(2n+2)!・・・・(7)
（イ）X=Xi(i=0,1,,,,n)のとき、
　(4)より、φ''(Xi)=0
φ(Xi)=0,φ'(Xi)=0(i=0,1,,,,n)にロルの定理を用いると、
　　・・・・・
　　・・・・・
ん～～この方法は無理ですかね＞＜
もう少しっすね＞＜

回答No.1

tecchan22

問題、ちょっと変ですよ。

定理の式で、ξは定数でしょう？
もし定理の式が本当に成り立つのならば、
f(x)はxの多項式で表されることになりませんか？