行列の形をしたN元連立方程式

質問

詰まってしまったのでお知恵を拝借させてください。

まずベクトルXi,Yiと行列Wが以下のようであるとします
Xi = (
　xi
　yi
　zi
)

Yi = (
　ai
　bi
　ci
　di
)

W = (
　w11 w12 w13
　w21 w22 w23
　w31 w32 w33
　w41 w42 w43
)

このとき
・Xの3要素は未知
・Wの12要素も未知
・Yの4要素は値が観測できるため既知

次にこれらから
　Yi = W Xi　――(1)
という式が成り立つとし、
これにより
　[Y1 Y2 ・・・ Yi ・・・ Yn] = W [X1 X2 ・・・ Xi ・・・ Xn]　――(2)
という式が成り立ちます。
この式より、XiとWが求めたいです。

このとき，
式(1)からは拘束が4つ得られる(式が4個立つ)ので
式(2)では拘束が4n得られ(式が4n個立つ)ます。
一方，未知数の数はX1・・・Xnの3nとWの12で3n+12個となります。

一般に式の数が未知数の数以上になれば未知数は求まるはずなので
　4n ≧ 3n + 12
　n ≧ 12
即ち、式(2)においてnが12以上であれば未知数WとXが求まる条件は満たしていることになります。

さてここで質問なのですが式(2)(n≧12)のような行列の形をした方程式からWとXiを求めるにはどうすればいいのでしょうか？
解法についてどのように調べたらいいのかさえ解らない現状です。
よろしくお願いします。

回答No.2

k_m__ · ベストアンサー

ベクトルの1次独立性に着目すると，否定的な解決になりそうです。

Yi の数が 3 つ以下ならば，ならば，
X1=(1 0 0), X2=(0 1 0), X3=(0 0 1)，W=[Y1 Y2 Y3] というのが
解の一つです。
Xi の成分は横に並べましたが，列ベクトルのつもりで見て下さい。
なお，Y1 と Y2 しかないときは，Y3 として零ベクトルを採用する，などの修正が必要です。

Yi の数が4つ以上でしかも1次独立なものの個数が 3 つ以下のときも，
1次独立なものを Yj, Yk, Ym とし，W=[Yj Yk Ym] とおき，
X1, X2, X3 は上の場合と同様なものを使用すればよいです。
i が j, k, m と異なる場合，Yi=aYj+bYk+cYm をみたす数 a, b, c が
取れるので，Xi=aX1+bX2+cX3 と置けば Yi=WXi が成り立ちます。

Yi のうち，1次独立なベクトルが4つ以上ある場合は解はありません。
背理法で示します。W を上手く選べて，どの i についても
Yi=WXi が成り立つように取れたと仮定します。
Xi は成分が3つのベクトルなので，1次独立なものの最大個数は
どう頑張っても3どまりです。
仮に Xj, Xk, Xm を1次独立なものとしましょう。
すると，j, k, m のどれとも異なる i について，
Xi=aXj+bXk+cXm をみたす数 a, b, c が取れます。
このとき，Yi=WXi=aYj+bYk+cYm となり，どの Yi も Yj, Yk, Ym という3つのベクトルの1次結合で表せることになり，
「Yi のうち1次独立なベクトルが4つ以上ある」という仮定に反します。

お礼

証明まで示して頂きありがとうございます。
ベクトルの場合、単純に未知数の数と拘束の数だけで考えるのは不十分で1次独立性についても考える必要があるわけですね。
勉強になりました。

回答No.1

eatern27

W,Xiがその方程式の解である(⇔Yi=W Xiが成り立つ)としましょう。

この時、任意の4×4正則行列Ｐに対して、
W' = W P
X'i = P^(-1) Xi
と定義すると、
W' X'i = W Xi = Yi
が成り立ちます。

解が存在しないか、無数に存在するかのどっちかということになりますね。

お礼

なるほど。
この場合WもXも一意に定まらないわけですね。
わかりやすく示して頂きありがとうございました。