変数分離への導入についての質問 数学に詳しい方

質問

ある微分方程式の参考書を読んでいて以下のような導入がありました。非常に見づらくて申し訳ないです。

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微分方程式　dy/dx = p(x)*q(y)　がある。

（途中過程省略）

1/q(yn)*(yn - yn-1) = p(xn)*(xn - xn-1) ・・・・・・・(1)
ここで1/q(yn) = w(yn)とおくと
P(x) = ∫p(x)dx 　　　　　　 W(y) = ∫w(y)dyであるから

・　p(xn)*(xn - xn-1) = P(xn) - P(xn-1)
・　w(yn)*(yn - yn-1) = W(yn) - W(yn-1)

よって(1)式は
P(xi) - P(xi-1) = W(yi) - W(yi-1)
と書き表せる。

したがって他の位置の微小面積はそれぞれ
P(xi) - P(xi-1) = W(yi) - W(yi-1)
P(xi)-1 - P(xi-2) = W(yi-1) - W(yi-2)
・
・
・
P(xA+1) - P(xA) = W(yA+1) - W(yA)
となり、縦に足し合わせていくと

P(xn) - P(xA) = W(yn) - W(yA)

ここでP(x) = P(xn)、　W(y) = W(yn)、　CA = P(xA)、　CW = W(yA)
と書きなおすと
P(x) - CA = W(y) - CW　となり……
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この文章でなぜCA = P(xA)、　CW = W(yA)のようにxとyの関数がそのまま積分定数になっているのでしょうか？私は数学が苦手で良く分かりません。どなたか数学に詳しい方教えていただけないでしょうか？

回答No.2

alice_44

貴方が悩んでおられる箇所は、積分の台形近似を
とても不正確な言い方で説明しているだけで、
微分方程式とも、変数分離とも、直接の関係はありません。
微分方程式の学習には、不必要な部分ですから、
思い切って無視してしまったほうがよいような気がします。

変数分離型微分方程式については、
dy/dx = p(x) q(y) を
p(x) = { 1/q(y) }(dy/dx) と式変形した後、
∫p(x)dx = ∫{ 1/q(y) }(dy/dx)dx の右辺を計算するときに、
合成関数の微分公式を思い出せばよいだけです。

回答No.1

Mr_Holland

＞この文章でなぜCA = P(xA)、　CW = W(yA)のようにxとyの関数がそのまま積分定数になっているのでしょうか？

　それは xA,yA がある定数として設定されているからです。
　そのため P(xA),W(yA)もそれぞれある定数xA,yAでの P,W の値ですので、これも定数になります。

　ただし CA=P(xA),CW=W(yA) は「積分定数」ではありません。
　微分方程式に付加される　「初期条件」または「境界条件」などによって与えられる定数ですよ。