数学の質問 ２変数関数の最大 （９２０４Ｋ）

質問

右図のように、点Oを中心とする半径１、中心角α（０＜α＜π ）のおうぎ形OABがある。
このおうぎ形の弧AB（端点をのぞく）上に異なる２点P,Qをとり四角形APQBを作る。

P,Qが弧AB上を動くとき、四角形APQBの面積Sの最大値を求めよ。

ここで、私は、角BOPをX、∠QOPをY、∠POAをα－（X＋Y）

として、

１/２（sinx＋ｓｉｎｙ＋ｓｉｎ｛α－（ｘ＋ｙ）｝－ｓｉｎα）＝Ｓとおく

　　　これをXで微分すると、

　　　ｄ/ｄｘS（ｘ）＝１/２[cosx-cos{α-（ｘ＋ｙ）｝]

　　　同様に
　　　これをｙで微分すると
　　　ｄ/ｄｙＳ（ｘ）＝１/２[ｃｏｓｙ－ｃｏｓ｛α－（ｘ＋ｙ）｝］

　　ここで、ｄ/ｄｘＳ（ｘ）＝０
　　　　　　　d/ dyＳ（ｙ）＝０　　を満たす

Ｘ、Ｙの値は、　　

　　　　　Ｘ＝α－（ｘ＋ｙ）
　　　　　Ｙ＝α－（ｘ＋ｙ）

　これを解いて

　　　　　Ｘ＝α/３
　　　　　Ｙ＝α/３

ここで、
　　　　ｄ/ｄｘ（ｄ　Ｓ（ｘ）/ｄｘ）＝１/２[－ｓｉｎｘ－ｓｉｎ｛α－（ｘ＋ｙ）｝］＝ｆ＾＾（ｘ）　
　　　　ｄ/ｄｙ（ｄ　Ｓ（ｙ）/ｄｙ）＝１/２[－ｓｉｎｙ－ｓｉｎ｛α－（ｘ＋ｙ）｝］＝ｆ＾＾（ｙ）　とおく

　Ｘ＝α/３のとき
　　　　ｆ＾＾（α/３）＝１/２（－ｓｉｎα/３－ｓｉｎα/３）
　　　　　　　　　　　　－ｓｉｎα/３＜０
同様に
　Ｙ＝α/３のとき
　　　　ｆ＾＾（α/３）＝１/２（－ｓｉｎα/３－ｓｉｎα/３）
　　　　　　　　　　　　－ｓｉｎα/３＜０

よって、Ｘ，Ｙ＝α/３の時

　　　　　ｆ＾＾（α/３）＜０　なので、極大値を持つ

Ｓ（α/３）＝１/２（ｓｉｎα/３＋ｓｉｎα/３＋ｓｉｎα/３－ｓｉｎα）
　　　　　　＝１/２（３ｓｉｎα/３－ｓｉｎα）

　　よって、最大値
　　　　　　　１/２（３ｓｉｎα/３－ｓｉｎα）　　　
　　　　　　　　　　　　　・・・・　ＱＥＤ

これで、よろしいでしょうか？

「これをXで微分すると、

　　　ｄ/ｄｘS（ｘ）＝１/２[cosx-cos{α-（ｘ＋ｙ）｝]

　　　同様に
　　　これをｙで微分すると
　　　ｄ/ｄｙＳ（ｘ）＝１/２[ｃｏｓｙ－ｃｏｓ｛α－（ｘ＋ｙ）｝］

　　ここで、ｄ/ｄｘＳ（ｘ）＝０
　　　　　　　d/ dyＳ（ｙ）＝０　　を満たす

Ｘ、Ｙの値は、　　

　　　　　Ｘ＝α－（ｘ＋ｙ）
　　　　　Ｙ＝α－（ｘ＋ｙ）

　これを解いて

　　　　　Ｘ＝α/３
　　　　　Ｙ＝α/３
　　　　　　　　　　　　　　」

この辺が、ちょっと説明不足かな？という感じもするのですが・・

お願いします。m(_ _)m

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

微分を持ち出す必要もない。

図形ＡＰＱＢＯの面積＝Ｓとし、∠ＰＯＡ＝α、∠ＰＯＱ＝β、∠ＢＯＱ＝γ　とすると、α＋β＋γ＝θ。
sinxは　0＜x＜πの間で上に凸の関数だから、α、β、γについて　sinα＋sinβ＋sinγ≦3sin(α＋β＋γ)/3　‥‥‥(1)　が成立するから、2Ｓ＝sinα＋sinβ＋sinγ　より、Ｓ≦(3/2)*(sinθ/3)。
よって、図形ＡＰＱＢの面積＝Ｓ-(1/2)*(sinθ)だから、求める最大値は、１/２*（３*ｓｉｎθ/３－ｓｉｎθ)
等号は、(1)より　α＝β＝γ＝θ/3の時。

凸関数が分からなければ、“凸関数”で検索すると、たくさん出てくる。

お礼

凸関数について調べました。

ｆ（ｘ）が閉区間Ｉにおいて凸関数であるとき
Ｉに属する２点ｘ１とｘ２と、実数０≦α≦１を
どのようにとっても、
ｆ（αｘ１＋（１－α）ｘ２）≦αｆ（ｘ１）＋（１－α）ｆ（ｘ２）が
成立することを言う

と書いてありましたが、

ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘはともかく、
αとｘ１とｘ２に対応するものは
どれでしょうか？

補足

回答ありがとうございます。

微分使わなくてもいいんですか・・・
ちょっと、考えて又お返事いたします。

回答No.1

alice_44

極大値が最大値になる理由は、書いておかないとまずいでしょう。
ABPQ が四角形にならない場合も許して、x, y の変域を
0≦x, 0≦y, 0≦α-x-y に拡張して考えれば、
S は有界閉領域上の連続関数だから最大値、最小値を持ちますが、
最大値は、極大以外に、定義域の境界上でとる可能性があります。
境界値が極大値より大きくないことを確認しなくてはならない。

お礼

0≦x, 0≦y, 0≦α-x-y に拡張して考えれば、
S は有界閉領域上の連続関数だから最大値、最小値を持ちますが、
最大値は、極大以外に、定義域の境界上でとる可能性があります

この辺が、分かりませんでした。
でも、違う方に質問して分かりましたので、大丈夫です
ありがとうございました。