変数分離形微分方程式の導入における式の展開について

質問

変数分離形微分方程式の導入において、参考書に次のような式の展開がありました。
y=f(x)において、
　　　　　　　　Δy/Δx≒dy/dx
　　　　　　　　Δy≒dy/dx・Δx
　　　　　　　　dy=dy/dx・Δx（近似式）・・・(1)
ここで、y=x とすると、
　　　　　　　　dx=dx/dx・Δx より
　　　　　　　　dx=Δx・・・(2)
(2)を(1)に代入すると、
　　　　　　　　dy=dy/dx・dx
上の式で、y=x としていますが、なぜなのでしょうか？
y=x は y=f(x) の関数の１つに過ぎないと思うのです。一般化しているように思えないのですが・・・
宜しくお願い致します。

回答No.4

mis_take · ベストアンサー

> dy=dy/dx・Δx から dy=dy/dx・dx が成立するのは y=x の時だけで、y=f(x)すべての関数で成立するとは言えないと思うのですが・・・

dy=y'Δx がすべての関数について成り立ち，
dx=Δx　が（恒等関数 y=x を考えることによって）成り立つ。
ゆえに
dy/dx=y' すなわち dy=y'dx がすべての関数について成り立つ。
^^^^^
これは分数

お礼

mis_take様　ありがとうございました。

回答No.3

kkkk2222

mis_take様　ご指摘感謝です。
正直に申しまして、理解は出来ません。
ただ、mis_take様のご指摘だから間違はない、と思うだけなのです。
権威に弱い自分が露呈しました。
＜誤読＞ではなく＜当方の限界です＞m(_ _)m

回答No.2

mis_take

Δy/Δxは分数で，dy/dxは微分係数を表しています。（ANo.1 さんへ，循環論法ではありません）
dy/dx を y' と書いた方がわかりやすいですね。

> ここで、y=x とすると、
f(x)=x の場合を考えると
と言った方がわかりやすいかも知れません。

> 一般化しているように思えないのですが・
一般化ではなくて(2)を導き出したのです。

次のケース（f(x)=a^xの微分を定義に従って求める）と似ていると思います。
f'(x)=lim{{a^(x+t)-a^x}/t}=…=(lim{{a^t-1}/t})a^x
x=0 のときを考えると
f'(0)=lim{{a^t-1}/t}
ゆえに，f'(x)=f'(0)a^x
↑x=0の微分係数がわかれば一般のｘにおける微分係数がわかる
（おまけ：f'(0)=1 となるａをｅと名づけると，(e^x)'=e^x）

補足

mis_take様　ありがとうございます。
まだ、少し理解できないところがあります。
dy=dy/dx・Δx から dy=dy/dx・dx が成立するのは y=x の時だけで、y=f(x)すべての関数で成立するとは言えないと思うのですが・・・
お手数おかけ致しますが、宜しくお願い致します。

回答No.1

kkkk2222

誤読だったらすみません）

＞＞参考書に次のような式の展開がありました。

信じられません。本当にこう書いて・・・
y=x　と置いた瞬間
Δy/Δx=Δx/Δx=1 ,　　dy/dx=1
典型的な、循環論法になります。
（Δy/Δx≒dy/dx　自身が怪しいですが、まあ一応了解するにしても・・・）

浅学な当方ですので、どう考えても＜当方の誤読＞・・・

PS デルタは機種依存文字なんですね。