確率変数について

質問

【問題】
離散型確率変数X,Yの分布がP(X = xi) = pi, P(Y = yi) = qi (i = 1,2)であるとき, E(X + Y) = E(X) + E(Y)を示せ.

【自分なりの解答】
P(X = xi and Y = yj) = rijとする.
ゆえにpi = ri1 + ri2 かつ, qi = r1i + r2iである.
E(X + Y) = (x1 + y1)r11 + (x1 + y2)r12
= (x2 + y1)r21 + (x2 + y2)r22
= x1(r11 + r12) + x2(r21 + r22)
= y1(r11 + r21) + y2(r12 + r22)
= x1p1 + x2p2 + y1q1 + y2q2
= (x1p1 + x2p2) + (y1q1 + y2q2)
= E(X) + E(Y)

【質問】
この解答は P(X = xi and Y = yj) = rijと仮定した時に, pi = ri1 + ri2かつ, qi = r1i + r2iであることを大前提にして問題を解いています.でもこの大前提がなぜ成立するのかが,上手に表現(証明)できません.何かアドバイスをいただけないでしょうか？よろしくお願いします.

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

確率を足し算で計算できるのは、複数の事象が互いに排反な場合です。

いま、x1とx2、y1とy2が互いに排反であることから、
r11とr12、r21とr22は排反になります。

そこで、事象r11またはr12が起こる確率は、
r11+r12と計算できることになります。

一方、
事象r11またはr12が起こる確率
＝x1かつy1、またはx1かつy2が起こる確率
＝x1かつ（y1またはy2）が起こる確率
＝x1が起こる確率
＝p1

となります。

このことは、すべてのpi,qiに関して言えるので、
ご質問の前提が成り立つと言えます。

補足

早速のレスありがとうございました。
非常に良く分かりました。＾＾

ところで、間抜けな質問だったらごめんなさい。
x1とx2、y1とy2が互いに排反であるというのは、
問題の「離散型」という文字から分かるものなのでしょうか？

回答No.2

sunasearch

＞x1とx2、y1とy2が互いに排反であるというのは、
問題の「離散型」という文字から分かるものなのでしょうか？

離散型だからではなく、離散型確率変数だからわかるのです。
確率変数による確率分布というのが、そもそも同時におこらない事柄の分布を表すものであり、それが離散的な事象を対象とした場合には、排反という言葉が用いられるのだと思います。

お礼

長期の旅行をしており、お礼が遅くなってしまいました。
親切な回答どうもありがとうございました。＾＾