同次連立一次方程式(行列)

質問

「同次連立一次方程式
a11x1+a12x2+…a1nxn=0
a21x1+a22x2+…a2nxn=0
　　　　　………
an1x1+an2x2+…annxn=0
が自明でない解をもつための必要十分条件は係数行列Ａ＝(aij)の行列式が０となることである」
の証明で、必要性はクラメルの公式でわかるのですが、逆の証明が理解できません。わかるところまでを書くと、
｜Ａ｜＝０と仮定する。a11=a21=…=an1=0のとき自明でない解として
(x1,x2,…,xn)=(1,0,…,0)
をもつので、あるai1≠0であるときを考えればよい。方程式の順序を入れ換えた係数行列をＡ'とすると、｜Ａ'｜＝０。
a11≠0として、第j行に第1行の-aj1/a11倍を加えて式変形すると、
Ａ'＝〔a11 a12 a13 　…　a1n
　　　0 　a'22 a'23 …　a'2n
　　　　　　　………
　　　0 a'n2 a'n3 …　a'nn〕
したがって、
｜Ａ'｜＝a11|a'22 …　a'2n
　　　 　　　　　　　　…
　　　　　　 　　a'n2 …　a'nn｜
　　　＝０
よって｜a'22　…　a'2n
　　　　　　　　　…
　　　　　a'n2　…　a'nn｜
　　　＝０
ここで、
「帰納法の仮定より(2)',…,(n)'の連立方程式は非自明解(x2,…,xn)をもつ」
とあるのですが、どうしてなのでしょうか？どなたかわかる方、教えてください。わかりにくい書き方で、ほんとに申し訳ありません。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

帰納法を使います．

n=1 のとき
a11 x1 =0
a11 = 0 であれば，x1 は非自明な解をもつ．

n-1 のとき |A|=0 ならば非自明な解をもつと仮定する

nのとき，
質問者さんの議論より
A'' = [ a'22　…　a'2n
　　　　　　　　　…
　　　 a'n2　…　a'nn]
とおくと，A'' は n-1 次の行列であり，|A''|=0
ここで帰納法の仮定より
a'22 x2+…a'2n xn=0
　　　　　………
a'n2 x2+…a'nn xn=0
は非自明な解(x2,…,xn)をもつ．

したがって，もとの連立方程式は非自明な解(x1,x2,…,xn)をもつ．

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騙されたような印象をもたれるかもしれませんが，
これはいわゆる「連立方程式の加減法」をやってるだけです．
分かりにくかったら，中学生に戻った気分で
a11 x1 + a12 x2 = 0・・・(i)
a21 x1 + a22 x2 = 0・・・(ii)
で考えてみるとよいでしょう．
ここで，a11 ≠0 とすれば
a11 (ii) - a21 (i) をやって，一本にしますよね．
そうすると，
(a11 a22 - a21 a12) x2 = 0 ですね．
この係数が，一般化のときの a'22に相当しますが，
この係数は仮定より（行列式そのものです） 0 です
したがって，非自明な解 x2 があって
よって，x1も決まります．

3次のときもこれと同様に2次の場合を使って証明できます．
これの一般化をしてるだけですよ．

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考えている定理は，別の視点でみれば，
以下のことと同じです．
(*) |A|=0 は A の列ベクトルが一次従属であるこおと同値
すなわち，問題の連立方程式が非自明な解をもつことです．

ですので，(*)がすでに証明されていれば，
自明です．

お礼

ありがとうございました、かなりわかりやすかったです。
なぜ帰納法がいきなり出てくるのかもよくわからなかったんですが、帰納法をメインに使った解き方だったんですね。　
ずっと悩んでいたので、ほんとにすっきりしました。ありがとうございました。