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連立斉次1次方程式が自明な解以外の解を持つ条件の証明
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#1、3です 基本行列は3つ性質をもつ行列で、左からかけた場合 (1)i行目をα≠0倍する (2)i行目とj行目を入れ替える (3)i行目をβ倍した行をj行目に加える となる行列のことです。 たとえば、3次の行列 {a,b,c} {d,e,f} {g,h,i} に対し (1) {1,0,0} {0,1,0} {0,0,4} を掛けると {a ,b ,c } {d ,e ,f } {4g,4h,4i} になり、3行目が4倍されます。 1行目、2行目も同様です 次に (2) {0,0,1} {0,1,0} {1,0,0} を掛けると {g,h,i} {d,e,f} {a,b,c} のように、1行目と3行目が入れ替わります。 最後に (3) {1,0,0} {2,1,0} {0,0,1} をかけると {a ,b ,c } {d+2a,e+2b,g+2c} {g ,h ,i } になります。 基本行列はみな行列式が0でなく正則な行列で、ガウスの消去法における各ステップの操作を表しています。
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- hugen
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自明な解(x=0)以外の解を持つ ⇔ Aの列ベクトルが一次従属 Aの列ベクトルが一次独立 ⇔ detA≠0
お礼
ありがとうございます。 うーん馬鹿なのか今一理解しきれません。
- post_iso
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回答者1です。 すいません、間違えていました。修正します Ax = 0 において、基本行列をいくつか使用し E_(1)E_(2)…E_(n)A = K によりAを上三角行列Kに変換する。 この上三角行列Kは、det(A) = 0のため rank(A) = rank(K) ≠ 正方行列の次数n となり、対角要素の一番最後a_(nn)を0とすることができる。 したがって、ベクトルxのx_(n)成分に対し a_(nn)x_(n) = 0 が成り立ち、a_(nn) = 0のためx_(n) ≠ 0とすることができるので x ≠ 0 とすることができる。 3次の行列で例をとると {1,a,b}{x} = 0 {0,1,c}{y} = 0 {0,0,0}{z} = 0 みたいにできるから、x ≠ 0ができるということです。 汚い証明しか思いつかずすいません。
お礼
ありがとうございます。 基本行列で上三角行列Kに変換できることが分かりません。 そこをできれば詳しくお願いしたいです。
- tsukita
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おはようございます。 高校生でしょうか?大学生でしょうか? 大学生で、線型代数を学んでいるなら、少し参考になるかもしれませんので、アドバイスとして回答します。 n次正方行列Aについて、以下の2つは必要十分条件になっています。 detA≠0・・・(1) rankA=n・・・(2) このことを用いると、 連立斉次1次方程式Ax=0が自明な解以外の解を持つ必要十分条件は、rankA≠nが成り立つことと言い換えることができます。 rankは,行列Aを“掃きだしたときに”,Aの対角成分に並ぶ0でない数の個数のことです。“履きだす”というのは,高校生は“履き出し法”として,大学では“基本変形”として学ぶと思います。 ことばで書くと分かりづらいですので、具体例で考えてみます。 例えば、 行列 (1 3)・・・第1行 (2 7)・・・第2行 について、第2行-第1行×2を施すと (1 3)・・・第1行 (0 1)・・・第2行-第1行×2 となるので、この行列の階数は2となります。 対角成分がともに1だから、0でないですよね。 因みに,はじめの行列の行列式を計算すると, 1*7-3*2=1≠0 で(1)と(2)の関係が確かめられます。 また、連立方程式 a+3b=0 2a+7b=0 は、a=b=0ですね。 次に行列 (1 3)・・・第1行 (2 6)・・・第2行 について考えてみます。 この行列の場合、第2行-第1行×2を施すと (1 3)・・・第1行 (0 0)・・・第2行-第1行×2 となるので、この行列の階数は1となります。 対角成分が2行目では0になっていますね。 また、はじめの行列の行列式を計算すると, 1*6-3*2=0 連立方程式 a+3b=0 2a+6b=0 は、無数に解を持ちます。 このように,連立方程式とdetだけでなく, rankを介すると理解し易いと思います。
お礼
大学生です。 具体例で理解はできました。 ありがとうございます。
- post_iso
- ベストアンサー率48% (14/29)
成分が実数であると仮定して証明します。 x≠0として、Ax = 0の両辺に転置をとると T(x) × T(A) = 0 ※T(…)は転置 この式に左からAx = 0をかければ A(x^2)T(A) = (x^2)AT(A) = 0 x^2≠0より AT(A) = 0 この式の両辺に行列式をとり、転置行列の行列式はもとの行列の行列式と同じことを使えば {det(A)}^2 = 0 ∴det(A)= 0 ※ 複素行列の場合、転置の代わりにエルミート共役にすればOKです
お礼
ありがとうございます。
補足
T(x)×T(A)に左からAxをかけると A(x^2)T(A)になるところが分かりません。 x×T(x)がx^2になるになるのが良く分かりません。 x^2はxとxの内積のことでしょうか?
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基本行列についての知識が無かったので助かりました! 複数回に渡って解答していただきありがとうございます!