確率の独立性

質問

1からｎまでの番号カードをランダムに並べる試行にたいする確立空間（W,P)を
　　W={w=(i1, ...... ,in)　： ij∈{1, ...... ,n} (1≦j≦n）, ij≠il(j≠l)}
　　 P(w)= 1/n! ,　∀w∈W

確率変数　Xj：W→N　（１≦ｊ≦ｎ）を　
Xj(w)＝　'数ｊのカードの右側におかれたｊより小さいカードの枚数’と定義する。　
この時
(1)P(Xi＝ｋ）　（ｋ＝ｐ, ...... ,j-1）　を求める
(2)　X1, ...... , Xn 　が独立かどうか調べる

という問題で、
(1)では　X1(w)＝０であることから　P(X1=0)＝１　だということは分かるのですが、ｊもｋも変数なのに問題のP(Xi=k)は求められるのでしょうか。

(2)はそれぞれの確率が関係し合っているので、独立でないと思うのですがどうでしょうか？

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

>(1)P(Xi＝ｋ）　（ｋ＝ｐ, ...... ,j-1）　を求める
問題の流れから見てこれは
P(Xj＝ｋ）　（ｋ＝0, ...... ,j-1）　を求める
の間違いでしょうね。それを前提にして。

まず、こういう確率の問題を知っていますでしょうか？
『ランダムに重ねた52枚のトランプがある。上から順番に開いていくとき
スペードの中でAが一番最初に出てくる確率はいくつか？』
こういう場合、題意に合わないハートやその他のカードは無視して
スペード13枚の中でAが最初に出てくる確率となるので
1/13となる。これはk番目(1≦k≦13)でも同じで1/13になる。
一度、確認のため、計算してみてください。これが52枚でなくて
スペードとハートだけの26枚でも、ジョーカーを入れた53枚でも1/13に
なります。これを踏まえると今回の問題も全く同様で
jが書かれたカードとこれ以下の数字が書かれたカード計ｊ枚のうち、
右から見てjが(k+1)番目に来る確率となります。よって
P(Xj＝k）=1/j　（ｋ＝0, ...... ,j-1）
となることが予想されます。実際の確率計算は例えば

P(Xj＝k）=H[j+1,n-j]*(n-j)! * C[j-1,k]*k!*(j-k-1)! /n!

を計算することになります。1/jになります。確認してください。

2は1の解答次第ですが、結局カードに書かれた数字次第で確率が決まりますので
独立だと思います。
∵P(Xj=k∪Xi=m)=1/ij

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。

＞問題の流れから見てこれは
　P(Xj＝ｋ）　（ｋ＝0, ...... ,j-1）　を求めるの間違いでしょうね。

そうです。すみません。。。

挙げられている　1/13　になる例は分かりやすいです。
・・・が、上記の問題になると混乱が・・・　ｊもｋも変数だからでしょうか？

自分で書いておいて問題内容から理解してない気がするのですが、
例えば、i1=7 i2=3 i3=1 ・・・　 in=4　　などと並んでいるとき
P（X2=1)　の意味って、i2のカードより右に　"2"　より小さいカードがある確率を出せばいいんですよね??　（"3"ではなく）

ということは一旦上の例を忘れてi2の右に１のカードがある確率が　n-2/nから考えて、
（X2=1)＝n-1/ｎ　　,　 (X2=0)＝2/n　　　なのでは？？

この時点で方向性おかしいですかぁ？

回答No.2

age_momo

>ｊもｋも変数だからでしょうか？
そうでしょうね。変数や定義式で書かれている問題は理解しにくいかも知れませんが、
慣れないとこの先、こういう表記ばかり出てきて何を書いてあるか分からなくなりますよ。

>例えば、i1=7 i2=3 i3=1 ・・・　 in=4　　などと並んでいるとき
>P（X2=1)　の意味って、i2のカードより右に　"2"　より小さいカードがある確
>率を出せばいいんですよね??　（"3"ではなく）

違います。問題には
『Xj(w)＝　'数ｊのカードの右側におかれたｊより小さいカードの枚数’と定義する。　』
とあります。これはj番目のカードではなく(今の場合、2番め)、jが書かれたカードより右にある
jより小さいカードの枚数です。だからP（X2=1)の場合は2と書かれたカードより
1と書かれたカードが右に来る確率となります。1/2ですね。

お礼

あ！　なるほど、そうですね。
完全に問題を取り違えていたようです。

よく分かりました。ありがとうございます。