確率変数Xnで定義されるYnはやはり確率変数でしょうか？

質問

確率変数Xnで定義されるYnはやはり確率変数でしょうか？

お手数を掛けてすみませんが、教えてください。
以下が問題です、最後の部分で確率変数の定義が引っ掛かります。

「独立な確率変数の列{Xn}において、Xnの平均値をμ、分散をσ^2,(n=1,2,…) とした場合、
Yn = 1/n ?[k=1 n]Xk-μが恒等的に0に確率収束すると示せ」

1/n?[k=1 n]Xk　の平均値、E(1/n ?[k=1 n]Xk)＝μ
1/n?[k=1 n]Xk　の分散が、σ^2(1/n ?[k=1 n]Xk)＝σ^2/n

となりますので、1/n?[k=1 n]Xkに関するチェビシェフの不等式に代入しますと、
p(|1/n ?[k=1 n]Xk-μ|＜ε)>=1-(1/ε・σ^2/n)
つまり、p(|Yn|＜ε)>=1-(1/ε・σ^2/n) ※0<ε

lim[n→∞]p(|Yn|＜ε)>=1-(1/ε・σ^2/n)
lim[n→∞]p(|Yn|＜ε)>=1 確率の性質より
lim[n→∞]p(|Yn|＜ε)=1
∴Ynは常に0以下であって、”Ynが確率変数であるならば”、恒等的に0に確率収束すると
示せるのですが…

どうなのでしょう？

回答No.2

nagi_szn · ベストアンサー

ちゃんと確率論やってますか？
測度論的に言えば、どの教科書にも書いてあると思いますが
可測関数の合成はまた可測であるということから明らかでしょう。
つまり確率変数(達)に四則演算を施したものはまた確率変数です。

お礼

とても理解できました、有難うございます。

書籍を使って独学で通信制大学の単位取得をしているので、基礎の部分が不十分なところがあるようです。
確率論Iはs評価だったんですけど…、確率論IIになってからは分からないことだらけです。

回答No.1

spring135

確率変数の平均値や分散は確率変数の分布の特性を表す特性値であって、それらが明確な値を有するとき、有効なものとなります。

お礼

ありがとうございます、再度確認してみます。