確率変数列が確率収束するなら確率分布も法則収束する事の証明

質問

確率変数列が確率収束するなら確率分布も法則収束する事の証明

テキストに解説があるのですが、解説すら理解できません…orz
強引な自己解釈をしましたので、ご指導をお願いします。

{Xn}がXに確率収束するとします。

Fxn(x) = Prob[Xn <= x]

εを( ε>0 )の任意の数として、
Prob{X <= x+ε} + Prob{X > x+ε} =　全体の確率　∴
Prob[Xn <= x] =
Prob[Xn <= x , X <= x+ε] + Prob[Xn <= x , X > x+ε]…(1)

;"Prob[Xn <= x , X <= x+ε] <= Prob[ X <= x+ε]となるので、"
(1)<= Prob[ X <= x+ε] + Prob[Xn <= x , X > x+ε]…(2)

;"Prob[Xn <= x , X > x+ε] <= Prob[｜Xn - X｜>ε]となるので、"
(2)<= Prob[ X <= x+ε] + Prob[｜Xn - X｜>ε]

以上より、Fxn(x) <= Prob[ X <= x+ε] + Prob[｜Xn - X｜>ε]
又、確率収束より　lim[n→∞]Fxn(x) <= Prob[ X <= x+ε] = Fx(x+ε)

Fx(x-ε)についても同様に考えると、Fx(x-ε) <= lim[n→∞]Fxn(x)

以上より Fx(x-ε) <= lim[n→∞]Fxn(x) <= Fx(x+ε)
ε( ε>0 )は任意の数なので、lim[n→∞]Fxn(x) = Fx(x)

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

確率変数列が確率収束するなら確率分布も法則収束する事の証明は二つの部分からなります。
1. 任意の有界かつ一様連続な関数f(x)に対して
　∫f(x)μn(dx) →　∫f(x)μ(dx)
ならばμnはμに弱収束する。
2. XnがXに確率収束するならば有界かつ一様連続な関数f(x)に対して
　∫f(x)μn(dx) →　∫f(x)μ(dx)

あなたが疑問なのは１と２のどちらでしょうか。

お礼

返事を頂いていることを見落としてしまい、お礼が遅れて申し訳ありません。
疑問となっていたのは２の方ですが、一応解決しました。