分布収束の問題

質問

こんにちは。元日ですが、具体的な設定における分布収束の問題についてご質問致します。

nを整数(n>4)、Xを一次元の確率変数、Qを自由度nの逆カイ二乗分布にしたがう確率変数、Cを正の定数とします。また、Xは以下のように構成されているとします。

X～nCQ 【Qにnと定数Cをかけている】

なお、QとXの期待値と分散はそれぞれ以下のようになります。

Qの平均： 1/(n-2)
Qの分散： 2/{(n-2)^2×(n-4)}
Xの平均： nC/(n-2)【n→∞のときCとなる】
Xの分散： 2×n^2×C^2/{(n-2)^2×(n-4)}【n→∞のとき0となる】

以上の設定において、nを大きくしたとき、√{n}×(X-C)の極限分布と漸近分散を求めたいのですが、√{n}×(X-C)が確率変数列の和という形になっていないので中心極限定理等が使えず、求め方が分からない状況となっています。

nを大きくしたとき、√{n}×(X-C)は分布収束するのでしょうか。また、分布収束する場合は、極限分布はどのように求めたらいいのでしょうか。

よろしくお願い致します。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

> X～nCQ 【Qにnと定数Cをかけている】

　なんで”=“じゃなく”～”なのか分かりませんが、
　　 x = (√n)(X-C) = (nQ-1)C√n
の確率密度関数は、自由度nの逆カイ２乗分布の確率密度関数
　　φ(Q,n) = (2^(-n/2)) (Q^(-1-n/2)) exp(-1/(2Q)) / Γ(n/2)
に、最初の式をQについて解いたもの
　　Q = (1+x/(C√n))/n
を代入して正規化したもの、つまり、
　　Φ(x, n) = φ((1+x/(C√n))/n, n) / (Cn√n)
で宜しいのでは？

> Xの平均： nC/(n-2)【n→∞のときCとなる】

> Xの分散： 2×n^2×C^2/{(n-2)^2×(n-4)}【n→∞のとき0となる】

　そうなんですか。されば
　　xの平均 = (Xの平均 - C)の(√n)倍 = 2C(√n)/(n-2) → 0
　　xの分散 = Xの分散の((√n)^2)倍 = 2(n^3)(C^2)/(((n-2)^2)(n-4)) → 2(C^2)
どっちも収束するんなら、Φ(x, n)も滅茶なことにはならなそう。

お礼

失礼しました。"～"ではなく"＝"でした。

ご回答ありがとうございます。計算してみます。