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n 回微分したときの式
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y = 1/(x-1) + 1/(x+1) の誤字でしょうね。 y = (x-1)^-1 + (x+1)^-1 なのだから、 分子分母云々というよりも、 x^a の微分公式だけでいけますよ。 (d/dx) x^a = a x^(a-1), a = -1, -2, -3, -4, … (x-1)^-1 → (-1)(x-1)^-2 → (-1)(-2)(x-1)^-3 → (-1)(-2)(-3)(x-1)^-4 → … (x+1)^-1 → (-1)(x+1)^-2 → (-1)(-2)(x+1)^-3 → (-1)(-2)(-3)(x+1)^-4 → … より、 (d/dx)^n y = (-1)(-2)(-3)…(-n){ (x-1)^-(n+1) + (x+1)^-(n+1) } です。 { } 内を通分したら、分子に x が入ってくるかも知れないけど。 係数部分のマイナスを括り出して (-1)(-2)(-3)…(-n) = (n!)(-1)^n の (-1)^n を { } 内ヘ移動すれば、 (d/dx)^n y = (n!){ (-1)^n・(x-1)^-(n+1) + (-1)^n・(x+1)^-(n+1) } = (n!){ (-1)/(1-x)^(n+1) + (-1)^n/(x+1)^(n+1) } となります。 一ヶ所違っているようですね。
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- yyssaa
- ベストアンサー率50% (747/1465)
Y=(1/(x-1))+(1/(x-1)) は正しいですか?
- happy_yuppie
- ベストアンサー率26% (12/45)
分母と分子で(1+x)がうまく打ち消されます. 分数の微分の公式に従って解いてみればわかります. 試しに 1/(x-1) を微分してみます. 1/g' = -g'/g^2 に従って順次求めてみます. 最初 1/(x-1) 1階 -(x-1)'/(x-1)^2 = -1/(x-1)^2 2階 (x-1)^2' / (x-1)^4 = (-1)^2*1*2(x-1) / (x-1)^4 = (-1)^2*1*2 /(x-1)^3 3階 (-1)^3*1*2 (x-1)^3' / (x-1)^6 = (-1)^3*1*2*3* (x-1)^2 / (x-1)^6 = (-1)^3*1*2*3 / (x-1)^4 ・・・ n階 (-1)^n * n! / (x-1)^(n+1)
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