解は得られても理解が不十分です(ベルヌーイ微分式）

質問

回答者の皆様、いつもお世話になります。

最近は微分方程式も少しは解ける様になれました。
ベルヌーイ微分式なのですが、一部分理解できない所があります。

y´+ p(x)y=Q(x)y^nの微分式において、
w=y^(-n+1)ならば、w´=(-n+1)y^(-n)・y´

とテキストにありますが、w=y^(-n+1)を単純に微分したらw´=(-n+1)y^(-n)ではないですか？y´は何処から出てきたのでしょう？(乗じているので合成関数っぽいです)

思いつく範囲では、そもそも関数y=f(x)があって、関数ｗ＝f(y)があるので、
w=f(f(x))であり、w´=f´(y)*dy/dx=f´(y)*y´ぐらいです。

実際はどうなのでしょうか、基本的なこと過ぎてテキストに説明が無いのかもしれませんが、ご指導願います。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

頑張っていますね！
　慣れてきたとのことで何よりです。

＞w=y^(-n+1)を単純に微分したらw´=(-n+1)y^(-n)ではないですか？
＞(乗じているので合成関数っぽいです)

　ご想像通り　yはxの関数なので、合成関数の微分をしなければなりません。
　つまり、P(x)やQ(x)と同様に、本当はy,wもy(x),w(x)なのです。ただ通常は表記を簡素化化していますが、どちらもxの関数です。
　ですので、wをxで微分したら、yをxで微分したy'を掛けなければなりません。

＞思いつく範囲では、そもそも関数y=f(x)があって、関数ｗ＝f(y)があるので、w=f(f(x))であり、w´=f´(y)*dy/dx=f´(y)*y´ぐらいです。

　ここの記述は、y=f(x)とw=g(y)が同じ関数になってしまっていますので、例えば次のように書き直すと良いと思います。
　　w=g(y)=g(f(x))
　∴w'=dw/dx =dg/dy*dy/dx =g'(y)*y'(x)

　ところで今までのご質問を振り返ってみますと、どうも合成関数の理解が十分ではない印象を受けます。
　ややもすると微分方程式では変数変換が出てくると何の関数だったのか分かりづらくなってきますので、慣れるまでは何の関数であるか　例えば　yはy(x)などと明記して計算を進めると良いように思います。
（教科書などでは、何の関数か余白にでも書いておくとわかりやすいかもしれません。）

　どうぞこれからも頑張ってください！

お礼

いつも的確なご指摘、ありがとう御座います、Mr_Hollandさん。

>>w=g(y)=g(f(x))
∴w'=dw/dx =dg/dy*dy/dx =g'(y)*y'(x)

すごく、自然に理解できました。
おっしゃられる通り、合成関数や対数関数などの箇所が苦手です。

>>微分方程式では変数変換が出てくると何の関数だったのか分かりづらくなってきます
日々、何の関数か分からなくなって混乱しております…orz

基礎的な部分を補強する必要があるみたいです。できる限り丁寧に解答を書く様に心がけようと思います。