分数関数の微分の公式

質問

分数関数の微分の公式が御座いますが、あの分子と分母を分けることによって積の微分に見立てることが出来ると思います。その時によく注に書かれている次の式がわかりません。
{1/g(x)}`=-g`(x)/{g(x)}^2
「`」は微分したというプライムと思ってください。
特に、右辺の分子がg`(x)になるのが分かりません。
簡単な事かもしれませんが、ど素人なので分かり易く、詳しくお教えください。
よろしくお願いします。

回答No.5

jmh · ベストアンサー

> {y(x)/g(x)}をy(x)*{1/g(x)}といった風に見るという事を指した
ごめんなさい…。読み直したら、確かにそう読めます。

逆数の微分：｛１／ｇ（ｘ）｝`＝－ｇ`（ｘ）／｛ｇ（ｘ）^２｝と
積の微分：｛ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）｝`＝ｆ`（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｇ`（ｘ）
を既知とします。
以下、入力がむずいので、「（ｘ）」を省略します。
ｈ＝１／ｇとします。
｛ｆ／ｇ｝`　＝｛ｆ×ｈ｝`
　　＝（ｆ`）ｈ＋ｆ（ｈ`）　-- 積の微分
　　＝（ｆ`）（１／ｇ）＋ｆ（｛１／ｇ｝`）　--　ｈ＝１／ｇ
　　＝（ｆ`）／ｇ＋ｆ（－（ｇ`）／｛ｇ^２｝）　-- 逆数の微分
　　＝｛（ｆ`）ｇ－ｆ（ｇ`）｝／｛ｇ^２｝　-- 通分

回答No.4

Mell-Lily

{1/g(x)}'
　=lim<h→0>{1/g(x+h)-1/g(x)}/h
　=lim<h→0>[{g(x)-g(x+h)}/g(x+h)g(x)]/h
　=lim<h→0>[-{g(x+h)-g(x)}/h]/g(x+h)g(x)
　=-g'(x)/{g(x)}^2

回答No.3

jmh

> 積の微分に見立てる
とは、
　ｙ＝１／ｇ（ｘ）
両辺にｇ（ｘ）をかけて
　ｇ（ｘ）ｙ＝１
両辺をｘで微分して--積の微分--
　ｇ`（ｘ）ｙ＋ｇ（ｘ）ｙ`＝０
整理して、
　ｙ`＝－ｇ`（ｘ）ｙ／ｇ（ｘ）＝－ｇ`（ｘ）／｛ｇ（ｘ）^２｝
のことですか？

補足

ありがとうございます。
私の勘違いかもしれないのですが、積の微分に見立てるとは
{y(x)/g(x)}をy(x)*{1/g(x)}といった風に見るという事を指したのですが、この様に解釈する事は出来ないのでしょうか？
よく分かってなくてすみません。
もう一度超分かり易くご回答くださいませ。

回答No.2

mmky

解説は出ていますので、参考程度に
例えば、
f(x)=1/x＾2=1/g(x)
f'(x)=lim{f(x+δx)-f(x)}/δx={1/(x+δx)＾2-1/x＾2}/δx
=lim{(x＾2-(x+δx)＾2)/(x+δx)＾2*x＾2*δx
=lim{(-2x*δx-δx＾2)/(x+δx)＾2*x＾2*δx
δxで両辺を割れば、
=lim{(-2x-δx)/(x+δx)＾2*x＾2
ここで、δx→0　にすれば、
=(-2x)/x＾4
g'(x)=2x, g(x)＾2=x＾4
だから、
=-g'(x)/{g(x)}＾2
なるよね。
つまり、通分した時に、
=lim{(x＾2-(x+δx)＾2)/(x+δx)＾2*x＾2*δx
=lim{{g(x)-g(x+δx)}/δx}/(x+δx)＾2*x＾2
=lim{-g'(x)/(x+δx)＾2*x＾2}
の形になるからだよね。

回答No.1

yamutya

分数式1/uは　指数形式で　u^(-1)となりマイナス１乗と同じ意味です
ｘ＾ｎの微分はｎｘ＾（ｎ－１）
ですから
(u^(-1)の微分は
-1*u^(-2)
です
また合成関数の微分
(f(u))'=f'(u)*u'
と相まって
分子にg'(X)がのっかっているのです