n次導関数って・・・。

質問

次の関数のn次導関数を求めたいのだけど、学校では何回か微分してその関係性を式にしてInductionで証明せよって言われたのですが

y=sinx
y=logx
y=x^3logx
y=1/(x^2-4x+3)

この四つは微分していっても関係性が見つからないし最初の方はどう関係性から式を出せばいいんだぁ！って感じで困っています。
すみませんがよろしくお願いします！

回答No.1

adinat · ベストアンサー

y=logx,y=1/(x^2-4x+3)
はともにほぼ同じですが、後者はこのままでは難しいので、
y=1/(x-1)(x-3)={1/(x-3)-1/(x-1)}/2
のように部分分数展開します。
あとはこの微分は容易ですが、念のため少し説明。
一般にx^a（a≠0）を微分するとax^(a-1)になるから、
たとえば1/(x-1)のn階微分は、
(-1)(-2)…(-n)1/(x-1)^{n+1}
=(-1)^n×n!×1/(x-1)^{n+1}
になります。これを利用すればすぐ出来るハズです。
logxも1回微分してしまえば、1/xになりますから、
あとはこれを使うと出来るわけです。

y=sinxは微分すると順番に
cosx→-sinx→-cosx→sinx
となり、4回微分すると元に戻ります。
一発の帰納法で証明するためには
これをすべてsinかcosに統一して表す必要がありますが、
そんなことをしないでも
n=4kのときn階導関数…sinx
n=4k+1のときn階導関数…cosx
n=4k+2のときn階導関数…-sinx
n=4k+3のときn階導関数…-cosx
であることが予想されるのだから、
これを帰納法で示せばよいのです。
実際のところこの4つを微分するだけでいいですが。

y=x^3logxはまず一度微分すると
y'=3x^2logx+x^2
もう一度微分すると
y''=6xlogx+3x+2x=6xlogx+5x
さらに微分して
y'''=6logx+6+5=6logx+11
4階微分は
y^(4)=6/x
です。だからこのあとの微分はやはり最初と同じ。
ただしn≦3のときまで一般式で表すのは困難です。
帰納法のスタートをn=4として証明してください。