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第n次導関数を求めよ。

y=eのX乗SINXの第n次導関数を求めよ。が分かりません。どなたか教えてください。

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  • 回答No.2
  • imopro
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sin(x)+cos(x)=√2*sin(x+π/4)は多分、数学IIで習われているとおもうのですが…教科書で見直してください。 「三角関数の合成」とでも呼ぶ内容のものだと思いますが、簡単に説明します。 asin(x)+bcos(x)という式があったとします(a≠0またはb≠0)。 これを、(例えば)文字tを使って以下のようにsinだけで表す事ができるのです。 asin(x)+bcos(x)=√(a^2+b^2)*sin(x+t) (但し、sin(t)=b/√(a^2+b^2)、cos(t)=a/√(a^2+b^2)) (通常、-π<t≦πとします) 今の場合a=b=1なので、 √(a^2+b^2)=√2,sin(t)=cos(t)=1/√2となります。 これを満たす角度は45°、即ちπ/4です。 従って、sin(x)+cos(x)=√2*sin(x+π/4)となるわけです。 イメージ的には、座標(a,b)とx軸が為す角度(負の角度も含む)がtとなると思えばいいわけです。

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質問者からのお礼

大変よくわかりました。丁寧にわかりやすく教えてくださってありがとうございました。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.3

ーーー (#1=#2)様が止めを刺さらぬので、書き出してしまいました。第n次導関数ををY【N】と表記します。 Y【0】=(e^X)SINX Y【1】=(e^X)SINX+(e^X)COSX =(e^X)【SINX+COSX】 =(e^X)(2^(1/2))【SIN(X+(π/4))】 Y【2】=(2^(1/2))【(e^X)SIN(X+(π/4))+(e^X)COS(X+(π/4))】 =(2^(1/2))(e^X)(2^(1/2))【SIN(X+(π/4))+COS(X+(π/4))】 =(2^(2/2))(e^X)【SIN(X+(2π/4))】 ここで ** Y【N】=(2^(N/2))(e^X)【SIN(X+(Nπ/4))】 と推定して、数学的帰納法を用いる証明に移行します。 N=1の時は既に完了。 N=Kの時の成立を仮定する。 即、Y【K】=(2^(K/2))(e^X)【SIN(X+(Kπ/4))】を仮定する。 Y【K+1】=(2^(K/2))【(e^X)SIN(X+(Kπ/4))+(e^X)COS(X+(Kπ/4))】 =(2^(K/2))(e^X)【SIN(X+(Kπ/4))+COS(X+(Kπ/4))】 =(2^(K/2))(e^X)(2^(1/2))【SIN(X+((Kπ/4)+(π/4)))】 =(2^((K+1)/2)))(e^X)【SIN(X+((K+1)π/4))】 即 N=K+1に**が成立する。 よって、全てのNに対して**が成立する。 はなはだ形式的ですが書いてみました。 ーーー

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  • 回答No.1
  • imopro
  • ベストアンサー率35% (58/163)

y=e^x*sin(x)の第n次導関数y^(n)は、 y^(n)=(√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4) でいいと思います。 因みに、 y=e^x*cos(x)の第n次導関数y^(n)は、 y^(n)=(√2)^n*e^x*cos(x+nΠ/4) でしょう。 求め方は、まず第2次導関数まで求めれば何となく察しがつくと思いますが、数学的帰納法を用います。 因みに、 y'=e^x*(sin(x)+cos(x)) =e^x*√2*sin(x+Π/4) =√2*e^x*sin(x+Π/4) y''=√2*e^x*(sin(x+Π/4)+cos(x+Π/4)) =(√2)^2*e^x*sin(x+(Π/4)*2) です。

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質問者からのお礼

さっそくの回答ありがとうございました。お礼も言わずに補足を書いてしまいました。すみません。

質問者からの補足

sin(x)+cos(x)=ルート2sin(x+π/4)が分かりません。前のことがわかっていないのですみません。

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