下記の微分方程式の解き方を教えてください。

質問

X^2+4cos(X)-4=0

をどの様に解けばよいのでしょうか？

答えはX=2.783445　になる様なのですが、解法が分かりません。

ラプラス変換をして解こうとしたのですが、うまくいきませんでした。

どなたかご教示よろしくお願いいたします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

x^2+4(cos x)-4=0 は、微分方程式じゃありませんね。
微分を使って解けって意味かな？
厳密解は無理っぽいので、近似解を探してみます。

まずは、大雑把な見積もりから始めましょう。
方程式の左辺を f(x) と書くことにします。
f(x) が偶関数であることと、f(0)=0 であることは、
すぐ気がつくと思います。
あと、f(π/2)=(π^2)/4-4<0 と f(π)=π^2-8>0
あたりを参考に、グラフの概形を考えてみると、
π/2<x<π の範囲に一個の解があり(これを x=a とする)、
方程式の解は x=±a,0 の三個であることが解ります。

では、a を近似してみましょう。cos をテイラー展開して、
8 次以上の項を打ち切ると、方程式は、
x^2+4{1-(1/2)x^2+(1/24)x^4-(1/720)x^6}-4≒0 となります。
整理すると、(-1/180)(x^2){180-30x^2+x^4}≒0 です。
180-30u+u^2=0 は、二次方程式だから、解公式で容易に
u=15±3√5 と解けます。
u=x^2 より、その中で (π/2)^2<u<π^2 のものを探すと、
u=15-3√5 のほうが範囲に入っています。
よって解は、x≒±√(15-3√5),0 と概算できます。
電卓によれば、√(15-3√5)≒2.8795 です。

ちょっと、近似が荒過ぎたかな？
では、cos のテイラー展開を 10 次で打ち切ってみましょう。
x^2+4{1-(1/2)x^2+(1/24)x^4-(1/720)x^6+(1/40320)x^8}-4≒0
より、(u/10080)(-10080+1680u-56u^2+u^3)≒0, u=x^2 です。
三次方程式の解公式により、u=56/3+w-(136/9)(14)^(2/3)/w,
w={(8/3)√19065)-7976/27}^(1/3) となるので、
電卓によれば、√u≒2.7763 です。

まだ荒いか。四次方程式なら解けるから、
cos のテイラー展開を 12 次で打ち切って…give up

お礼

そうでした微分方程式ではありませんでした。

テイラー展開を使えばよかったんですね。ありがとうございました！

回答No.1

Willyt

これは微分方程式ではなく、ただの方程式ですよね。これの近似解を求めることになります。

ｙ＝X^2+4cos(X)-4　をｘで微分すると　

ｙ’=2x-4sinx となります。ここで近似解を　Ｘ0 とすると次の近似値Ｘ１はニュートン・ラプソン法により

ｘ１＝ｘ０ -y0/y'0 で計算できますから、これを繰り返し計算して行けばいいのです。解の初期値は３でやって見てはいかがでしょうか。