微分方程式でラプラス変換を用いるやりかた(急いでます)

質問

急いでます！！次の計算などのやり方を答えを含めて教えてください。
1.t^(-a)のラプラス変換をガンマ関数を用いて表せ。
2.f(τ)＝（ｅ^(-2τ)－ｅ＾(-τ)）／τの逆ラプラス変換を求めよ。
3．x'(t)-x(t)=(2t-1)e^t^2，x(0)=2をラプラス変換を用いて解け。
4．Hebisideの階段関数H(t)={1(t>0),0.5(t=0),0(t<0)}としたとき、H(t-a)のラプラス変換を求めよ。

以上ですが、１は自分は、-ａτ^(a-1)Γ(-a)となりました。あっているでしょうか？
２はお手上げです。変換表を見てもそれらしいのは乗っていませんし。
３．はe^t^2のラプラス変換ができませんでした。
４．はｔ＞ａのとき1/τ，ｔ＝ａのとき、ｔ＜ａのときと場合分けするだけでいいのでしょうか？

なにとぞよろしくお願いします。

回答No.2

keyguy · ベストアンサー

一箇所マイナスが抜けていました

列挙形式は丸投げ疑惑が掛かるので避けた方がいいでしょう

したがって１つだけ
x'(t)-x(t)=(2・t-1)・e^(t^2)
の右辺はe^(-s・t)を掛けても押え込めません
右辺は急増していくのです
従ってラプラス変換には向いていません
敢えてラプラス変換でやるのならばe^(t^2)で両辺を割ってラプラス変換すべきでしょう
しかしラプラス変換をしないで簡単に求まるものを敢えて変則ラプラス変換する必要はありません
ヘビサイドの記号法から
(e^(-t)・x(t))'=(e^(t^2-t))'
が見えていますからね

回答No.1

keyguy

列挙形式は丸投げ疑惑が掛かるので避けた方がいいでしょう

したがって１つだけ
x'(t)-x(t)=(2t-1)e^(t^2)
の右辺はe^(s・t)を掛けても押え込めません
右辺は急増していくのです
従ってラプラス変換には向いていません
敢えてラプラス変換でやるのならばe^(t^2)で両辺を割ってラプラス変換すべきでしょう
しかしラプラス変換をしないで簡単に求まるものを敢えて変則ラプラス変換する必要はありません
ヘビサイドの記号法から
(e^(-t)・x(t))'=(e^(t^2-t))'
が見えていますからね