数学解析のラプラス変換についてです

質問

D^4 x = δ(t)(t-1)を解きなさいという問題があるのですが、 δ(tーa)のラプラス変換がe^-asとなるので、右辺についてδ(t)のラプラス変換は、e^-0 ｓ =1というのはわかるのですがδ(t)tのラプラス変換はどう計算すればいいかわかりません
どのように計算すればいいでしょうか？

回答No.3

reiman · ベストアンサー

もしt=0が世界の始まりでt<0が静的状態
x(t)=x'(t)=x"(t)=x"'(t)=…=0 (t<0)
だとすると
D^4x(t)=δ(t)(t-1)
すなわち
x""(t)=-δ(t) ...(*)
はラプラス変換を使わないで以下のように簡単に解ける
(*)より
x"'(t)=-U(t)+A
x"'(-0)=0よりA=0だから
x"'(t)=-U(t)
よって
x"(t)=-U(t)t+B
x"(-0)=0よりB=0だから
x"(t)=-U(t)t
よって
x'(t)=-U(t)t^2/2+C
x'(-0)=0よりC=0だから
x'(t)=-U(t)t^2/2
よって
x(t)=-U(t)t^3/6+D
x(-0)=0よりD=0だから
x(t)=-U(t)t^3/6

回答No.2

reiman

δ(t)t=δ(t)0=0
である
δ(t)(t-1)=-δ(t)
の片側ラプラス変換はできない
δ(t)はt=0で∞になるがt=0が積分の下限になっているので
δ(t)の片側ラプラス変換はできないからである
本にはδ(t)の片側ラプラス変換を1と書いてあるものあるが
これは上記の矛盾を無視した考えによるものである
それではどのようにして
D^4 x = δ(t)(t-1)
を解けばよいのかということになるが
tを変数変換して片側ラプラス変換の積分の下限を変更してやれば良い
つまり
τ=t-1
y(τ)=x(τ+1)
として
(d/dτ)^4y(τ)=δ(τ+1)τ=-δ(τ+1)
を片側ラプラス変換すれば良い
勿論ヘビサイド関数U(t)と両側ラプラス変換を使えば
この様な変数変換をしなくても良い
すなわち
(D^4x(t))U(t+1)=-δ(t)U(t+1)
すなわち
x""(t)U(t+1)=-δ(t)U(t+1)
を両側ラプラス変換するのである
その際
Dx(t)U(t+1)=x'(t)U(t+1)+x(t)δ(t+1)=x'(t)U(t+1)+x(-1)δ(t+1)
D^2x(t)U(t+1)=x"(t)U(t+1)+x'(-1)δ(t+1)+x(-1)δ'(t+1)
D^3x(t)U(t+1)=x"'(t)U(t+1)+x"(-1)δ(t+1)+x'(-1)δ'(t+1)+x(-1)δ"(t+1)
D^4x(t)U(t+1)=x""(t)U(t+1)+x"'(-1)δ(t+1)+x"(-1)δ'(t+1)+x'(-1)δ"(t+1)+x(-1)δ"'(t+1)
になることに注意！
これはつまり-1を積分下限とする片側ラプラス変換を使うことに相当する

回答No.1

Tacosan

convolution?