ラプラス変換の問題です。

質問

f(S)＝0,(0≦t＜a）,　ｆ(t)＝１(ａ≦ｔ≦ｂ), f(t)=0(f＞ｂ）のf(t)のラプラス変換を求めなさい。という問題なんですが、どう解いていったらいいのかがわかりません。わかる人いませんか？
答えは（e^(-as) - e^(-bs))/s　になるらしいです。
それとラプラス変換ってなんのためにあるんでしょうか。いままで勉強してても一度も出た時がなかったんでいつ使っているのかがわかりません。回答といっしょにおしえていただけたならうれしいです。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

被積分関数をステップ関数H(t)を使ってあらわすと、
　　f(t)=H(t-a)-H(t-b)
　　ただし、H(t)=0 (t≦0), 1(t＞0)
となります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%89%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%AE%B5%E9%96%A2%E6%95%B0

　H(t-a)をラプラス変換すると、
　　[t=0→∞]∫H(t-a)exp(-st)dt
　＝[t'=-a→∞]∫H(t')exp{-s(t'+a)}dt'　（t'=t-a)
　＝exp(-sa)・[t'=-a→∞]∫H(t')exp(-st')dt'
　＝exp(-sa)・{[t'=-a→0]∫H(t')exp(-st')dt'+[t'=0→∞]∫H(t')exp(-st')dt'}
　＝exp(-sa)・[t'=0→∞]∫H(t')exp(-st')dt'　（∵H(t')=0 @ t'≦0)
　＝exp(-sa)・1/s　（∵ステップ関数のラプラス変換は、1/s）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B#.E7.B0.A1.E5.8D.98.E3.81.AA.E5.A4.89.E6.8F.9B.E8.A1.A8

　同様に、H(t-b)のラプラス変換は、
　　exp(-sb)・1/s
となるので、与えられた関数のラプラス変換は、
　　exp(-sa)・1/s-exp(-sb)・1/s
　＝{exp(-sa)-exp(-sb)}/s
となります。

　なお、ラプラス変換は、微分方程式を解く際に利用できます。
　また、制御系の解析を行うときよく使われます。

お礼

くわしい解答ありがとうございます。おかげでよくわかりました。

回答No.1

rabbit_cat

f(t) = H(t-a) - H(t-b)
と書けます。H(x)はヘピサイド関数です。
ラプラス変換の線形性、H(x)のラプラス変換が1/sになること、t軸でaだけ平行移動すると、e＾(-as)がかかるってことを使えば、答えになります。

ラプラス変換によって、微分や積分などが、代数的な演算に変わるため、微分方程式なんかが簡単に解けるとか。
さらに、ラプラス変換は時間軸と周波数軸の変換にもなっているので、系の周波数応答が簡単にわかるとか。

ってことで、工学系（系の同定とか予測とか制御とか）では非常によく使います。
学校で今、ラプラス変換を習っているなら、来学期には、それを使う授業があるでしょう。

お礼

解答ありがとうございました。