ラプラス変換(何度も何度もすみません・・・)

質問

先ほど質問した、（ｄ＾２ ｘ）/（ｄｔ＾２）＋４ｘ＝sint,ｘ（０）＝０,ｘ’（０）＝０をラプラス変換せよという問題は、以下の方法で計算できることを教えてもらいました。
X(s)={1/(s^2+1^2)}{1/(s^2+2^2)}=a/(s^2+1^2)+b/(s^2+2^2)
as^2+4a+bs^2+b=1
a+b=0
4a+b=1
a=1/3,b=-1/3
L^-1（X）＝(1/3)L^-1{1/(s^2+1^2)}-(1/3)(1/2)L^-2{2/(s^2+2^2)}
＝(1/3)sin(t)-(1/6)sin(2t)
で、次は、(ｄ＾２ ｘ)/(ｄｔ＾２)＋４ｘ＝ｅ＾(３ｔ)，ｘ(０)＝０、ｘ‘(０)＝０という問題です。
この問題も上の問題みたいにｓ＾＋●みたいな形が出てくる問題です。
ラプラス変換すると、(ｓ＾２＋４)Ｘ(ｓ)＝１/(ｓ－３)でＸ(ｓ)＝１/{(ｓ－３)(ｓ＾２＋４)}になるのですが、これを上の方法でやるとａ(ｓ＾２＋２＾２)＋ｂ(ｓ－３)＝１でas＾２＋ａ２＾２＋ｂｓ－３ｂ＝１になりｓが消えません。上の問題はａ＋ｂ＝０でｓが消えて連立方程式で求めれたのですが、今回はどうなのでしょうか。教えてください。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
未定係数法を適用するだけです。
>(as+b)/{(s^2)+4} + c/(a-3)にして後はどうするんでしょうか。
(as+b)/{(s^2)+4} + c/(s-3)　ですね。

X(s)=1/[(s-3)*{(s^2)+4}]=(as+b)/{(s^2)+4} + c/(s-3)
[(s-3)*{(s^2)+4}]を掛けて
1=(as+b)(s-3)+c{(s^2)+4}=(a+c)(s^2)+(b-3a)s+(4-3b)
sの恒等式だから各次の係数を比較して
a+c=0,b-3a=0,4-3b=1
これを解けば a=-1/13,b=-3/13,c=1/13
したがって
X(s)=-(1/13)[s/{(s^2)+(2^2)}]-(3/26)[2/{(s^2)+(2^2)}]
+(1/13){1/(s-3)}
後はラプラス変換の公式（順に、cos(2t),sin(2t),e^(3t））を
適用すればいいですね。

基本的な関数のラプラス変換の式（公式）は覚えるようにして下さい。

お礼

ご解答ありがとうございました！
この方がずっとか楽チンですねっ！！
何回も本当にありがとうございました！

回答No.1

info22

まだ未定係数法がマスターできていませんね。
というより、展開形式がどうなるかが、わかっていないようですね。
展開してみて、
＞as＾２＋ａ２＾２＋ｂｓ－３ｂ＝１になりｓが消えません。
おかしな結果がでるという事は、展開形式が間違っていることに気付くこと。
そして正しい展開形式に直すこと。が大切です。まあ、数式変形の基礎、おそらく高1～高2位の基礎学力が不足しているのだろうね。高校の教科書や参考書で分数式の加算や部分分数展開、そして未定係数法の計算問題の復習して基礎学力をつけた方がいいかもしてません。
そうしないとテストでできる問題もできないことも出て来ますよ。

展開式は
1/[(s-3)*{(s^2)+4}]
を良く観察して
(as+b)/{(s^2)+4} + c/(a-3)
としないといけないよ。
分母が２次だと分子は一次少ない一次式になる事は常識です。
前の場合は分母が(s^2)の関数で左辺の式も(s^2)だけの式だから、
たまたま、分子にsの項が無かっただけです。
以前の質問では、一般の場合の展開式の形を書いてあげたはずですか
読んでもらえ無かったようですね。

上記の展開式で未定係数法を適用すれば良いかと思います。
部分分数展開するとどんな展開式になるかを良く考えて取り組んでください。その段階で間違ったら解けませんよ。

なお、通常e^(3t)という関数は発散するので微分方程式では出てきません。e^(-3t)なら出てきますが…。
通常、Lapalace変換や微分方程式では過渡現象問題を解くわけですから、
t→∞のときx(t)は有限の値に収束するような関数が微分方程式の右辺にくるはずです。

補足

>(as+b)/{(s^2)+4} + c/(a-3)にして後はどうするんでしょうか。
正直、基礎力が崩れいているのでわかりません。
教えてください。