微分方程式の問題です。

質問

y''-2y'+y=x^2e^3x、y(0)=y'(0)=0をラプラス変換で解くと、どうなるでしょうか。

回答No.3

Ae610

色々と考えがあって然りとは思うが・・・、
当方の考えは、「微分方程式」を解くための「道具立て」を揃えておく事で別段不都合が生じるとは思っていないので、利用出来る道具は活用するという立場である・・!!
(まぁ、工学屋的立場からではあるが・・!)

・・んで、今回はラプラス変換で解いてくれとの事なのでご要望に従う・・!!

y''－2y'＋y = x^2e^3x、y(0)=y'(0)=0 (x^2e^3x = x^2・e^(3x)と理解した上で回答する)

y(x)のラプラス変換L{y(x)}をF(s)と表す事にする.
両辺のラプラス変換を取って
L{y"}－2L{y'}＋L{y} = L{x^2・e^(3x)}
(s^2F(s)－sy(0)－y'(0))－2(sF(s)－y(0))＋F(s) = 2/(s－3)^3
y(0)=y'(0)=0だから左辺は
s^2F(s)－2sF(s)＋F(s) = 2/(s－3)^3
∴F(s) = 2/{(s－1)^2・(s－3)^3}
F(s) = a/(s－1)＋b/(s－1)^2＋c/(s－3)＋d/(s－3)^2＋e/(s－3)^3　(a,b,c,d,eは定数)
・・・と部分分数展開する.

留数を求める手続きに従いa,b,c,d,eを求めると
a = -3/8 , b = -1/4 , c = 3/8 , d = -1/2 , e = 1/2

∴F(s) = (-3/8)・1/(s－1)＋(-1/4)・1/(s－1)^2＋(3/8)・1/(s－3)＋(-1/2)・1/(s－3)^2＋(1/2)・1/(s－3)^3

よってy(x)を求めるためラプラス逆変換(invL{F(s)})と表す事にする)を施して・・、
invL{F(s)} = (-3/8)・invL{1/(s－1)}＋(-1/4)・invL{1/(s－1)^2}＋(3/8)・invL{1/(s－3)}＋(-1/2)・invL{1/(s－3)^2}＋(1/2)・invL{1/(s－3)^3}
= (-3/8)・e^x－(1/4)・xe^x＋(3/8)・e^(3x)－(1/2)・xe^(3x)＋(1/4)・x^2・e^(3x)
(一応検算は任せる・・!)

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ところで話は違うが・・・、
質問者が自己申告したプロフィールをそのまま真に受けるとすると・・・、
質問者は「高校生」・・!?
高校で「ラプラス変換」って習うの・・??

回答No.2

alice_44

日常的にラプラス変換を使って解かれている
工学上の微分方程式は、直接式変形で解いても
容易なものばかり。今回の例も、そのひとつです。
ラプラス変換には、微分方程式を解く技法
としての存在価値なんてないんですよ。
ただ、微分方程式を解くのに使うこともできる
という事実が面白かったり、少し話を広げて、
積分変換というものそれ自体が興味深かったり
するだけです。
具体的な微分方程式をラプラス変換法で解こう
なんて、愚の極みです。
微分方程式の一覧表から解をひいているだけ
ですからね。

回答No.1

alice_44

ラプラス変換？
今どき、大鑑巨砲主義なのでしょうか。

両辺に exp(-x) を掛けてから、
二度積分してください。
それだけで終わりです。

補足

おっしゃる通り、そうやれば、解けるとは思いますが、今回はラプラス変換を用いて解く方法が知りたいのです。