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微分方程式の境界値問題です。
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変換前を小文字、変換後を大文字で書きます。 x''(t)-x'(t)-2x = 3exp(2t) 両辺をラプラス変換すると (s^2X(s)-sx(0)-x'(0)) -(sX(s)-x(0)) -2X(s) = 3/(s-2) ここからX(s)をすべてまとめて X(s) = ～ の形に式を整理します。 整理したら両辺を逆ラプラス変換すれば x(t) = ～ の形で解が求まります。
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