微分方程式を求める問題がわかりません

質問

ラプラス変換を用いて微分方程式を求める問題がわかりません

y''+4y'+5y=δ(t-π)

y(0)=y'(0)=0

Y(s)=e^(-sπ)/(s^2+4s+5)までは計算したのですがここからのラプラス変換がわかりません

私の計算は間違っているのでしょうか？
解説をお願いします
ちなみに答えはy=U(t-π)e^(2π-2t)sin(t-π)です

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

y''+4y'+5y=δ(t-π)

両辺をLaplace変換し初期条件をいれると
(s^2+4s+5)Y(s)=e^(-sπ)
Y(s)=e^(-sπ)/((s+2)^2+1)
y(t)=[L^-1{1/(s^2+1)}e^(-2t)](t→t-π)
={sin(t)e^(-2t)](t→t-π)
=sin(t-π)e^(2π-2t) (t≧π)
=U(t-π)sin(t-π)e^(2π-2t)
ここで、U(t)は単位ステップ関数。