偏微分方程式の初期値問題

質問

x(ux)+(uy)=0　u(ξ,0)=sinξ　(ux),(uy)はuのx,yそれぞれについての偏微分です。
という問題なんですが、
dx/dt=x　dy/dt=1　(x,y,u)lt=0＝(ξ,0,sinξ)
x=ξe^t　y=t　となりますよね？
そこから初期値の無い問題と同様に定数を作ると、
x*e^-y=ξ
でu=f(x*e^-y)という答えになってしまったんですが、
これなら初期値の無い時と一緒の答えですよね？
どこで初期値を使ってやればいいのでしょうか？

回答No.1

shkwta

そこまでできているのなら、あとは任意のξについて
u(ξ,0)=sinξ　
が成立するように関数fを定めてやればいいだけです。