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微分方程式の初期値問題について

微分方程式の初期値問題について a,bは正の定数とする。初期値問題 dy/dx+y=b√y ,y(0)=a^2 …(*) について (1)u=√y と置くとき、uの満たす微分方程式を求めよ (2)初期値問題 (*)を解け (3)(*)の解yに対し,極限lim[x→∞]y(x)を求めよ (1)のyをu^2、√yをuと置き、そこでもう詰まってしました。 ここからどう解けばいいんでしょうか? 解き方、考え方、必要な公式を教えてください。

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(1) u=√y y=u^2 公式((d/du)(u^2)=2u)と公式(dy/dx=(dy/du)(du/dx))より dy/du=(d/du)(u^2)=2u だから dy/dx=(dy/du)(du/dx)=(2u)(du/dx) 2u(du/dx)+u^2=bu u(0)=√y(0)=a>0だからu≠0 2(du/dx)+u=b (2) (du/dx)=(b-u)/2 u=bのとき √y=b→y=b^2 u≠bのとき (du/dx)/(u-b)=-(1/2) t=|u-b|とすると u<bのときdt/dx=-du/dx→(du/dx)/(u-b)=(-dt/dx)/(-t)=(dt/dx)/t=-(1/2) u>bのときdt/dx=du/dx→(du/dx)/(u-b)=(dt/dx)/t=-(1/2) だからu<b,u>bのどちらの場合も (dt/dx)/t=-(1/2) ∫(1/t)dt=(-1/2)∫dx log(t)=(-x/2)+c1 c2=e^{c1}とすると t=c2e^{-x/2} |u-b|=c2e^{-x/2} c=±c2とすると u-b=ce^{-x/2} u=b+ce^{-x/2} u(0)=b+c=a c=a-b u=b-(a-b)e^{-x/2} y=(b-(a-b)e^{-x/2})^2 (3) lim[x→∞]y(x)=lim[x→∞](b-(a-b)e^{-x/2})^2=b^2

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質問者からのお礼

ありがとうございます。やっと理解でき、解けました

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(1) u=√y y=u^2 dy/dx=2u(du/dx) 2u(du/dx)+u^2=bu u(0)=√y(0)=a>0だからu≠0 2(du/dx)+u=b (2) (du/dx)=(b-u)/2 u>bならば (du/dx)/(u-b)=-(1/2) ∫(1/(u-b))du=(-1/2)∫dx log(u-b)=(-x/2)+c1 u-b=ce^{-x/2} u=b+ce^{-x/2} u(0)=b+c=a c=a-b u=b-(a-b)e^{-x/2} y=(b-(a-b)e^{-x/2})^2=b^2-2b(a-b)e^{-x/2}+((a-b)^2)(e^{-x}) (3) lim[x→∞]y(x)=lim[x→∞](b^2-2b(a-b)e^{-x/2}+((a-b)^2)(e^{-x}))=b^2

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質問者からの補足

ありがとうございます。 (1)のdy/dx=2u(du/dx)はどのようにしてこの形に変形できるのでしょうか? あと、(2)のu>bならばと条件をつけたのは何故でしょうか? それ以外は理解できましたが、そこで引っかかってしまいます。

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