デルタ関数を含む常微分方程式

質問

ｙ''+6y'+10=δ(x-1) , y(0)=0 , y'(0)=3
の常微分方程式を求めよという問題で
ラプラス変換をして
(s^2+6s+10)Y(s)=exp(-s)+3
とし
Y(s)=e^(-s)/(s^2+6s+10)+3/(s^2+6s+10)
よってy=sin(x-1)exp(-3(x-1))H(x-1)+3sin(x)exp(-3)という感じであっていますか？

Hはヘビサイド関数です．

回答No.1

FT56F001 · ベストアンサー

ｙ'' + 6y' + 10y =δ(x-1) , y(0)=0 , y'(0)=3
の解は
y=sin(x-1)*exp(-3(x-1))*H(x-1) + 3*sin(x)*exp(-3x)
で合ってますよ。(質問に一部ミスタイプ?)

できあがったy(x)の式を微分してみて，

(1) x=1で，y"に無限大インパルスが入るので，
y'(x)が x-0からx+0の間で，+1 だけ不連続に増加する。
(2) x≠1で ｙ''+6y'+10y =0を満たす。
(3) 初期条件 y(0)=0 , y'(0)=3を満たす。

を確認すればよいわけです。

お礼

確認の仕方まで教えてくださってありがとうございました．