ラプラス変換の微分方程式でy(t)を求める問題

質問

ラプラス変換の微分方程式の問題です。ラプラス変換及びラプラス逆変換を使いY(S)を求めてからy(t)を求めます。
(a)y'(t)-y(t)=(2*t-1)*e^t^2, y(0)=2
(b)t*y''(t)+y'(t)+4*t*y(t)=0 ,y(0)=2,y'(0)=0
(c)y'(t)-3*y(t)+2*∫(0→t) y(u)du=u(t-1) ,y(0)=2,ただしuはヘヴィサイドの階段関数
です。(a)は左側の変換は出来るのですが、右側がよくわかりません。合成積を使う見たいですが。
(b)はtが付くとき微分？をする見たいなことは分かるのですがその後がよくわかりません。
(c)は根本的にわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

inara1

(a) については別質問（http://sanwa.okwave.jp/qa5564418.html）のANo.3に答えがありますが、どのようにしてそうなるのかの流れだけを紹介します（ラプラス変換の部分はご自分で計算してください）。

微分方程式 y'(t) - y(t) = (2*t-1)*e^(t^2) の右辺はこのままではラプラス変換できません（発散するので）。そこで、両辺を 0 でない e^(t^2) で割ると
　　　y'(t)*e^(-t^2) - y(t)*e^(-t^2) = 2*t-1 --- (1)
となります。上の左辺の第2項の y(t)*e^(-t^2) は t の関数なので、それを x(t) とおけば
　　　x(t) = y(t)*e^(-t^2)
　　　→ y(t) = x(t)*e^(t^2) --- (2)
式(2)の両辺を t で微分すれば
　　　y'(t) = { x'(t) + 2*t*x(t) }*e^(t^2) --- (3)
式(2), (3) を式(1)に代入すれば
　　　 x'(t) + ( 2*t - 1 )*x(t) = 2*t-1
初期条件は式(2)から y(0) = x(0) = 2 となります。これをラプラス変換を使って x(t) について解けば y(t) が求められます。

ちなみにこの問題はここ（http://sanwa.okwave.jp/qa770180.html）に全く同じ問題が出ています。