ラプラス変換で連立微分方程式を解くとき

質問

お願いします。

連立微分方程式をラプラス変換で解くとき、
たとえばx'をラプラス変換すると
sL(x) - x(0)
のようにx(0)が出てきますよね。
ラプラス変換の問題集の場合たいてい初期条件が付いているのですが、
初期条件がない場合はこのままx(0)を答えに使用してもよいのでしょうか。

たとえば演算子法で解く問題の場合、
x' = x - 4y
y' = x + 5y
となっていて、問題集の回答の通り微分演算子で解けば
答えは
x = {(C2 - 2C1) - 2C2t}exp(3t)
y = (C1 + C2t)exp(3t)
(C1,C2は任意定数）
となります。一方ラプラス変換で解くと
x = (x0 - (2x0 + 4y0)t)exp(3t)
y = (y0 + (x0 + 2y0)t)exp(3t)
(x0 = x(0),y0 = y(0))
となります。
これは実は　C1 = y0, C2 = x0 + 2y0
と置き直すと同じになります。ここで質問です。

(1)このような問題でふつうは任意定数を使うべきでしょうが、
x(0),y(0)を使ったら不正解なのでしょうか。

(2)そもそもx(0),y(0)は任意定数になるのでしょうか。

(3)なんだかラプラス変換があれば微分演算子法は
いらない子のような気もしなくはないのですが
気のせいでしょうか？

以上です。よろしくお願いいたします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

(A)　C1、C2は初期条件（境界条件）によって決まる定数であって、全く自由に決められる定数ではありません。普通任意定数といっているのは、初期条件によってどんな値にでも任意に決まられる定数の意味です。

（B)　一方、x(0),y(0)はそれぞれ、変数x(t),y(t)の初期値という事です。
具体的な初期値（境界値）が決まればそれで置き換えることができる値です。
全く何も制約のない任意定数ではありません。

(A)は数学者、純粋数学で使われる傾向にあり、実際の物理量と無関係な定数として扱われ、
(B)は現実的な初期の物理量の初期値をあらわす物理量で工学や実験系の物理学でで採用される傾向にあります。

実際、初期条件（境界条件）を与えてやれば、時間関数の変数（物理変数）の式は同じになります。

> (3)なんだかラプラス変換があれば微分演算子法は
いらない子のような気もしなくはないのですが
気のせいでしょうか？

あなたがどちらの立場を取るかの違いだけです。
数学分野の人なら演算子法をより好んで使い、工学系の人ならラプラス変換をより好んで使うということですね。

工学分野の人が、数学分野の人に演算子法はいらない（不要だ）、ラプラシ変換法を使え。といっても、結論はでないでしょうね。
逆のことを言われるだけでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、立場の違いなのですね。
自分は工学系なのでラプラスメインで使おうかと思います。
また前半の説明もとてもわかりやすかったです。

確認でお聞きしたいのですが、
ならばC1,C2を使って答えてもx(0),y(0)を使って答えても
答えとしては正解（実は院試をひかえています）になるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.3

info22

#1です。

工学系の院試なら初期条件が与えられるのが普通ですから、ラプラス変換で解くのが分かりやすく、それで解くのが一般的です。
でも演算子法で解いたからといって減点されることはないと思います。

お礼

なるほど。安心しました。好きなほうでとこうと思います。
ありがとうございました！

回答No.2

Tacosan

(3) についてだけですが, 「演算子法の理論的基礎がラプラス変換」だったかな?
つまり, 「演算子法でうまくいく理由」が「ラプラス変換」にある, だったような気がします.
逆だったかなぁ....
そういう意味では「演算子法はいらない子」かも.

お礼

なるほど、二つは本質的には同じものなのですね。
初めて知りました、ありがとうございました！