連立微分方程式

質問

よろしくお願いします。

【問題】次の連立微分方程式を解け。ただし、p , q は p > 0 , q > 0 の定数、x , y は t の関数であり、初期条件として、x(0) = y(0) = x'(0) = y'(0) = 0 を用いるものとする。

x'' + py' = 0
y'' - qx' = 1

【自分の解答】
x'' + py' = 0 …(1)
y'' - qx' = 1 …(2)
とする。(1)より
x'' = - py'
∫(x'')dt = ∫(- py')dt
x' = - py + C
t = 0を代入して
x'(0) = - py(0) + C
∴C = 0
∴x' = - py
これを(2)に代入すると
y'' + pqy = 1
(ここから不明)

のような感じで途中まで進めましたがあっているのかよくわかりません。間違っていれば指摘を、合っていれば続きの解答もしくはヒントをいただけますでしょうか。

回答No.3

noname#168349 · ベストアンサー

２です。
かなり違います。
ω^2=-pq<0なので
ω=+i*sqrt(pq),-i*sqrt(pq)
（マイナスも解になっていることに注意してください。）
よって
z=A*exp(t*sqrt(pq))+B*exp(-t*sqrt(pq))
AとBは積分定数です。
なんでこうなるのかは微分方程式を復習してください。
オイラーの公式をつかうと
z=y-1/pq=C*sin(t*sqrt(pq))+D*cos(t*sqrt(pq))
までもっていけます。
CとDはA、Bで書くことのできる数です。
（z=y-1/pqです。注意）
ここで初期条件をつかってください。

それから、１のような解法があるのを私は知りませんでした。
y ''' + pqy ' = 0
y'=wとおけば
w''=-pqw
よって
y '=w = α sin(ωt + δ)
です。

回答No.4

noname#168349

３です。
７行目
z=A*exp(t*i*sqrt(pq))+B*exp(-t*i*sqrt(pq))
iが抜けていました。すみません。

お礼

詳しい解説ありがとうございました。
教えていただいたことを元にもう少し復習してみます。
大変参考になりました。

回答No.2

noname#168349

y'' + pqy = 1
は解けます。
(y-1/pq)''=-pq(y-1/pq)
と変形してz=y-1/pqとおけば、
z''=-pqz
を得ます。見たことある形ではないですか？
z=A*exp(ωt)とおいて代入、とか知りませんか？

お礼

ありがとうございます。
何となく見たことがあるような感じです。
では、
z '' = - pqz
z = Aexp(ωt)とおいて代入すると
Aω^(2)exp(ωt) = - pqAexp(ωt)
A ≠ 0 , exp(ωt) ≠ 0 より
ω^(2) = - pq
∴ω = √(pq)i
∴z = Aexp(√(pq)it) = A( cos(√(pq)t ) + sin (√(pq)t ) )
z = ( y - 1 ) / pq より
y = pqA( cos(√(pq)t ) + sin (√(pq)t ) ) + 1 …(答)
でよろしいでしょうか。

回答No.1

arrysthmia

そこまでＯＫ。

最後の式を、もう一度 t で微分すると、
y ' = α sin(ωt + δ)
α,δは定数、ω = √(pq) とわかる。

お礼

ありがとうございます。

最後の式とは
y '' + pqy = 1
のことですよね？
これをtでもう一度微分すると
y ''' + pqy ' = 0
となり、三階の微分が出てきてそこからどうすればよいのかわかりません。
もう少し詳しくお願いしてよいでしょうか。