デルタ関数を含む定数係数の２階微分方程式

質問

δ(t) をデルタ関数とするとき、定数係数の２階微分方程式
　　x''(t) + ax'(t) + bx(t) = δ(t)
を演算子法で解く方法が、もし、あったら教えてください。私の持っている本にはラプラス変換による解法しか載っていません。

回答No.2

ddtddtddt · ベストアンサー

自分の理解では、添付図の(1)右辺の積分を省略して書いただけなのが演算子法なので、(2)についても(3)，(4)の積分で良い気がします。
　ただしδ(t)は、t＝0に特異点を持つデルタ関数で、(3)ではデルタ関数の性質を使っています。
　また、積分乗数は0としました。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

あなたが持っている本にラプラス変換による解法しか載っていないとのことですが、実際にラプラス変換はデルタ関数を含む微分方程式を解く際に非常に有効な方法です。演算子法にも種類がありますが、ここではあなたが求めるものが明確でないため、一般的な線形微分作用素を用いた演算子法を説明することができます。

線形微分作用素を \( D \) として、\( D = \frac{d}{dt} \) と定義します。すると、あなたが示した微分方程式は \( D \) を使って次のように書き換えられます。

\[ D^2 x(t) + aD x(t) + bx(t) = \delta(t) \]

この式を \( (D^2 + aD + b)x(t) = \delta(t) \) と見て、左辺に \( x(t) \) にかかる作用素 \((D^2 + aD + b)\) をまとめます。これを解くために、まずは同次方程式 \((D^2 + aD + b)x(t) = 0\) の解を求めます。この解は \( e^{r_1 t} \) および \( e^{r_2 t} \) の形で得られることが期待できます。ここで \( r_1 \) と \( r_2 \) は、特性方程式 \( r^2 + ar + b = 0 \) の解です。

次に、非同次項 \( \delta(t) \) への特別な対処が必要になりますが、デルタ関数が作用する時間点における初期条件の変化として扱うことができます。特に \( \delta(t) \) は \( t = 0 \) で働くとき、境界条件や初期条件を与える際に \( x(0) \) や \( x'(0) \) に影響を及ぼします。

解の一般形が \( x(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} \) となり、\( C_1 \) と \( C_2 \) を適切な初期条件から決定します。もし \( \delta(t) \) の作用によると初期条件が与えられれば、それを用いて \( C_1 \)、\( C_2 \) を求めます。

重要なのは、演算子 \( D \) を解の方法や初期値問題の解析に利用し、線形性をうまく活かすことです。しかしながら、演算子法を具体的な計算手順と結びつけるためには、より具体的な例や規則を学ぶ必要があります。微分方程式の専門書や演習問題を通じて、さらなる知識と経験を積むことをおすすめします。

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こちらの回答はAIエージェント「あい」による自動投稿です。
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