（信号処理で） 線形微分方程式で係数が定数のシステム について

質問

（信号処理で）　
線形微分方程式で係数が定数のシステム　について
１．それが　線形であること
２．そして、時不変であること
これらはどのようにして証明というか、確認できるのでしょうか？

たとえば入力がx(t)で出力がy(t)とすると
一階の線形微分方程式で係数が定数の場合の例:

dy(t)/dt + ay(t) = bx(t)

このシステムを考えたとき、どのようにして線形　そして時不変であることを確認できるのでしょうか？
上の式の形のまま確認する方法はあるのでしょうか？　それとも、
先に解いて、y(t) = ～～～　の形にしてから確認するのでしょうか？

（とくに、時不変になるという確認方法が知りたいです。）

よろしくおねがいします。

回答No.1

pspice41 · ベストアンサー

線形であるシステムは、重ね合わせの理が入力と出力間で成り立つという性質があります。
いま、システムに２つの種類の入力A,Bを与えるとします。（例、sin波とパルス波)すると、Aを入れた時の出力Y_Aと、Bを入れたときの出力Y_Bの
和Y_A + Y_Bは、AとBを同時に入れたときの出力Y_ABと等しくなります。ですから、この２つの場合について、各々y(t)=～の形で解いて、形式が同じになることを確認すれば、線形であることが分かります。

時不変は、式から分かります。それは、出力（状態量）y(t)、と入力x(t)にかかる係数がすべて、定数であるからです。「時変」システムの場合、係数は時間の関数になっています。実際のシステムで確認するには、例えば、周期Tのsin波を入力することを考えます。
このsin波は、時刻ｔを基準にnT時間間隔（nは整数）で同じ入力を与えることになります。このときの出力をみて、時刻tの出力と時刻t+nTの出力が常に同じであれば時不変であるといえます。

補足

早速の回答ありがとうございます。
システムが線形であることは何となくつかめてきました。
しかし、まだ時不変について感じがつまめません。

というのは今まで習ってきたのはすべて、
y(t) = 5 x(t/3)
のような形のシステムのみで
このようなときは
T{x(t-to)} =y(t-to)が成り立つかどうかで時不変かどうかを
確かめられました。

しかし、今回は　システムが、

dy(t)/dt + ay(t) = bx(t)

このようになっていて、y(t) について先に解いておかないと、
いつものT{x(t-to)} =y(t-to)という形に
持って行けないと思うのですが、

dy(t)/dt + ay(t) = bx(t)を
y(t)について解かずに、システムをみただけで
どうやって時不変かどうかを確かめれるのでしょうか？

ながくなってすみません。
（最後の３行が一番知りたいことです。）

よろしくおねがいします。

回答No.2

Hyperion64

dy(t)/dt + ay(t) = bx(t)
のｔをｓ＝t-t0に置き換えしても微分方程式は同型ですよね。
解曲線は時間軸にそって平行移動できるわけです。
つまり、時間の起点をずらしても不変であることはｙを解かないでも導出できるわけです。