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(信号処理で) 線形微分方程式で係数が定数のシステム について

(信号処理で)  線形微分方程式で係数が定数のシステム について 1.それが 線形であること 2.そして、時不変であること これらはどのようにして証明というか、確認できるのでしょうか? たとえば入力がx(t)で出力がy(t)とすると 一階の線形微分方程式で係数が定数の場合の例: dy(t)/dt + ay(t) = bx(t) このシステムを考えたとき、どのようにして線形 そして時不変であることを確認できるのでしょうか? 上の式の形のまま確認する方法はあるのでしょうか? それとも、 先に解いて、y(t) = ~~~ の形にしてから確認するのでしょうか? (とくに、時不変になるという確認方法が知りたいです。) よろしくおねがいします。

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  • 物理学
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線形であるシステムは、重ね合わせの理が入力と出力間で成り立つという性質があります。 いま、システムに2つの種類の入力A,Bを与えるとします。(例、sin波とパルス波)すると、Aを入れた時の出力Y_Aと、Bを入れたときの出力Y_Bの 和Y_A + Y_Bは、AとBを同時に入れたときの出力Y_ABと等しくなります。ですから、この2つの場合について、各々y(t)=~の形で解いて、形式が同じになることを確認すれば、線形であることが分かります。 時不変は、式から分かります。それは、出力(状態量)y(t)、と入力x(t)にかかる係数がすべて、定数であるからです。「時変」システムの場合、係数は時間の関数になっています。実際のシステムで確認するには、例えば、周期Tのsin波を入力することを考えます。 このsin波は、時刻tを基準にnT時間間隔(nは整数)で同じ入力を与えることになります。このときの出力をみて、時刻tの出力と時刻t+nTの出力が常に同じであれば時不変であるといえます。

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質問者からの補足

早速の回答ありがとうございます。 システムが線形であることは何となくつかめてきました。 しかし、まだ時不変について感じがつまめません。 というのは今まで習ってきたのはすべて、 y(t) = 5 x(t/3) のような形のシステムのみで このようなときは T{x(t-to)} =y(t-to)が成り立つかどうかで時不変かどうかを 確かめられました。 しかし、今回は システムが、 dy(t)/dt + ay(t) = bx(t) このようになっていて、y(t) について先に解いておかないと、 いつものT{x(t-to)} =y(t-to)という形に 持って行けないと思うのですが、 dy(t)/dt + ay(t) = bx(t)を y(t)について解かずに、システムをみただけで どうやって時不変かどうかを確かめれるのでしょうか? ながくなってすみません。 (最後の3行が一番知りたいことです。) よろしくおねがいします。

その他の回答 (1)

  • 回答No.2

dy(t)/dt + ay(t) = bx(t) のtをs=t-t0に置き換えしても微分方程式は同型ですよね。 解曲線は時間軸にそって平行移動できるわけです。 つまり、時間の起点をずらしても不変であることはyを解かないでも導出できるわけです。

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