- ベストアンサー
微分方程式の初期値問題
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
#2,#4です。 A#2は直接微分方程式を解く方法ですが、 >ラプラス変換を使わない方法 として演算子法を使う方法では以下のようになります。 d/dx=Dとおいて (D+a)y=b y=b/(D+a)=e^(-ax)(∫[0->x] b e^(at)dt+y0) =y0 e^(-ax) + b e^(-ax)∫[0->x] e^(at)dt =y0 e^(-ax) + b e^(-ax) [(1/a)e^(at)](t=0->x) =y0 e^(-ax) + (b/a) e^(-ax){e^(ax)-1} = ... ↑後は式を整理するだけですので、やってみてください。
その他の回答 (4)
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
#2です。 >y=(b/a)(1-e^(-ax))+y0 > >以上のような解答になったのですが合っていますでしょうか? 間違っています。 求めたyを方程式に代入すると成立しません。 A#2に書いた手順でやれば正しい結果が得られるはずです。 途中計算を補足に書いてもらえばどこで間違いをしたかチェックします。
- carvelo
- ベストアンサー率49% (49/99)
bは定数ですかね? であれば、たとえば f(y)=-y+b/a g(x)=a とおくと y'=g(x)f(y) ですね。この形の微分方程式の解法は、微分方程式の教科書の初めの方に載っているはずです。 参考に ご質問の微分方程式は、一様重力場中で速度に比例する抵抗を受けながら運動する質点の運動方程式などと同じ形をしています(速度vをyと置いてみる)。なので、力学の教科書などを見てもいいかもしれません。
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
あなたのできるところまでの解答を補足に書いて下さい。そして行き詰っている所について質問して下さい。 解き方 同次微分方程式 y'+ay=0 の一般解 y= と特殊解 y=b/a の和を求めて一般解とします。 それに初期値を適用して、一般解の定数を決めるだけです。 補足のあなたのやった解答をお書き下さい。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
あなたはこの問題を「解の公式」や「ラプラス変換」を使わないで解けますか?
関連するQ&A
- 微分方程式の初期値問題について
微分方程式の初期値問題について a,bは正の定数とする。初期値問題 dy/dx+y=b√y ,y(0)=a^2 …(*) について (1)u=√y と置くとき、uの満たす微分方程式を求めよ (2)初期値問題 (*)を解け (3)(*)の解yに対し,極限lim[x→∞]y(x)を求めよ (1)のyをu^2、√yをuと置き、そこでもう詰まってしました。 ここからどう解けばいいんでしょうか? 解き方、考え方、必要な公式を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式を求める問題がわかりません
ラプラス変換を用いて微分方程式を求める問題がわかりません y''+4y'+5y=δ(t-π) y(0)=y'(0)=0 Y(s)=e^(-sπ)/(s^2+4s+5)までは計算したのですがここからのラプラス変換がわかりません 私の計算は間違っているのでしょうか? 解説をお願いします ちなみに答えはy=U(t-π)e^(2π-2t)sin(t-π)です
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の問題がわかりません
こんにちは、微分方程式の授業でわからない問題があって困ってます、 y''+ay'+by=0(a,bは実数の定数)においてy=(4-2x)e^-xが解である場合、a,bの値を求め、その一般解を求めよという問題です。 最後のページ解答が載っていてa=2、 b=1 y=(c1+c2x)e^-x (c1, c2は任意定数)となっているのですが。過程を是非教えていただきたいと思います。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2階微分方程式が解けません
[y''+y'/x-y/x^2=0 を解け] という問題を見かけたのですが,どのように解けばいいのかわかりません. (1)2階微分方程式にyが含まれないときはy'=pとおき,y''=dp/dxとして解く. (2)d^2y/dx^2=ky(k:定数)のときは公式がある. (3)y''+ay'+by=R(x)(a,b:定数,R(x):xのみの関数)のときは補助方程式の一般解と特殊解を求めて解く というのは教科書に書いてあったのですが,今回の問題はこの中のどの方法を使えば解けるのでしょか? 解答にはy=Ax+B/x(A,B:任意定数)とあります.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の問題について
y''(t)+y(t)=4 y(π)=0 , y'(0)=2 という問題で自分でラプラス変換でといたところ、 y(t)=4cost+2sint+4 という答えが出ました。でも、合っている自信がありません。 この答え、合ってますか? 教えてください!!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 【微分方程式】
定数係数常微分方程式の質問です。 関数y=y(x)について、 y''-2ay'+y=0 (-∞<x<∞) を考えます。 y=A exp(λx) とおき、得られた特性方程式を解いて 一般解を求めました。 以下、非自明解を考えます。 (1)a=0のとき、非自明解はすべて周期解となることを示せ。 オイラーの公式より 示すことができました。 (2)a>0のとき、非自明解は周期解を持たないことを (i)0<a<1,(ii)a=1,(iii)1<a<∞の場合に分けて示せ。 との問題なのですが、いくら考えてみても、 (i)0<a<1のとき、e^iが残ってしまい、 周期解になってしまって、困っています。 どなたか数学に詳しい方がおられましたら、 よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の問題について
(y")^2+xy"-y'=0 一般解:y=Ax^2+4A^2x+B 特異解y=-x^3/12 の解き方がわかりません。 ほとんど解らないのと同じですが、 ・xを特殊解と推測 ・p=y'として、 (dp/dx)^2+x(dp/dx)-p=0 と変換する まではできました。 その後どのように考えれば解けるのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
y=(b/a)(1-e^(-ax))+y0 以上のような解答になったのですが合っていますでしょうか? よろしくお願いします。