微分方程式の問題について

質問

y''(t)+y(t)=4 　　　　y(π)=0 , y'(0)=2

という問題で自分でラプラス変換でといたところ、

y(t)=4cost+2sint+4

という答えが出ました。でも、合っている自信がありません。
この答え、合ってますか？
教えてください！！

回答No.2

128yen · ベストアンサー

かなり前にやったことなので自身がありませんが。

y''(t)+y(t)=4・・・(0)の一般解を求めます。

y''(t)+y(t)=0・・・(1)

y(t)=e^(λt)とおくと、y''(t)=λ^2e^(λt)、これらを(1)式に代入して

λ^2e^(λt)+e^(λt)=0

（λ^2+1)e^(λt)=0、e^(λt)は0でないので(λ^2+1)=0、これよりλ=±i

y(t)=Ae^(it)＋Be^(-it)=Csint+Dcost・・・(2)

特別解は、y(t)=Eとおいて(0)式に代入すると

0+A=4 →　A=4 よって解は、y(t)=Csint+Dcost+4・・・(3)

初期条件（y(π)=0 , y'(0)=2 ）を満たすことから

0=Csinπ+Dcosπ+4 → 0=-D+4　→　D=4

y'(t)=Ccost-Dsint

2=Ccos0-4sin0　→　2=C → C=2

よって、y(t)=4cost+2sint+4

No.1の方が回答されているように、出た答えが(0)式の微分方程式を満たすことや、初期条件を満たすのでそれらを代入して等式が成立することで確認することもできますね。

お礼

途中式っを書いていただけてとてもうれしかったです！
理系の大学に通ってるんですがイマイチ理系科目に自信がなくて。
私がほしかった回答です。
本当にありがとうございました。

回答No.3

nubou

微分方程式は合っているかどうかを確かめるのは条件式に合うかどうかを見ればいいのですから簡単ですよ
ｙ（ｔ）＝４・ｃｏｓ（ｔ）＋２・ｓｉｎ（ｔ）＋４
ｙ’（ｔ）＝－４・ｓｉｎ（ｔ）＋２・ｃｏｓ（ｔ）
ｙ”（ｔ）＝－４・ｃｏｓ（ｔ）－２・ｓｉｎ（ｔ）
だから
ｙ（π）＝０
ｙ’（０）＝２
ｙ”（ｔ）＋ｙ（ｔ）＝
－４・ｃｏｓ（ｔ）－２・ｓｉｎ（ｔ）＋４・ｃｏｓ（ｔ）＋２・ｓｉｎ（ｔ）＋４
＝４
だから合っているのですよ

解くより遙かに簡単に確かめられるでしょう

お礼

ありがとうございます。
あっててよかったです。
テストが近いので、がんばります。

回答No.1

children

あってます。　すべての条件を満たしてますし・・・

お礼

そうなんですよね。条件は満たしてるんですけど、数学苦手なので自信なくて。
ありがとうございました。