数IIの座標の問題で解法の意味が分かりません・・・
問題）
a^2x^2+b^2y^2≦1・・・(1)を満たす（ｘ、ｙ）が全て、a(x-1)+b(y-1)≦0・・・(2)を満たすような（a,b)の範囲を求めよ
という問題に対して解法の流れは次のようになっています。
解法の流れ）
X=ax, Y=by・・・（*）と置くと、(1)はX^2+Y^2≦1・・・(3)、(2)はX+Y≦a+b・・・(4)となり、
i)a≠0かつb≠0のとき、
任意のX,Yに対して（*）を満たす実数（ｘ、ｙ）が存在するので、(3)を満たす（X,Y）が全て(4)を満たすような（a,b）の範囲を求めればいい。
ii)a=0かつb≠0のとき
X=０であり、任意の実数Yに対して（*）を満たす実数ｙが存在するので、(3)を満たす（０,Y）が全て(4)を満たすような（a,b）の範囲を求めればいい。
iii)a≠0かつb=0のとき
ii)と同様に。（以下略）
iv)a=0かつb=0のとき
明らかに成り立つ。
と場合分けをして求めています。
ここで、質問です。
まず、問題にある、「(1)を満たす（ｘ、ｙ）」が解法では実数となっており、
また(a,b)も実数となっていますが、どうして実数と分かるのでしょうか？
次に、X=ax、Y=by（*）と置き換えたことで、
(1)を満たす（ｘ、ｙ）⇔（場合分け(i)にあるように）「任意のX,Yに対して（*）を満たす実数（ｘ、ｙ）が存在するので」、
となるのはどうしてでしょうか？
（ｘ、ｙ）や(a,b）が実数だとして読み進めると、
(1)かつ（*）を満たす実数（ｘ、ｙ）に対して実数（X,Y）が存在するので、(3)⊆(4)を満たす（a,b）の範囲を求めればよい、という展開にはならないでしょうか？？
最後に、X=ax、Y=by（*）と置き換えた（X,Y）について、実数だとして、（X,Y）の存在条件を示さなくていいのでしょうか？？
以上、質問３つです。頭が混乱していて変な質問しているかもしれません。
X,Yと置き換えたことで、どう求めたらいいのか分からなくなってしまったことが原因です・・；
よろしくお願いします。
補足
定義を書くのを忘れていました。a^y=inf{a^p｜p∈Q,p>=y}です。申し訳ありませんでした。