• ベストアンサー
  • 困ってます

写像の連続性について

(Z,d)から任意の距離空間(Y,d_Y)への任意の写像fが連続であることを証明したいです。 ただし、Zは整数全体の集合でd(x,y)=|x-y|です。 任意の写像fの連続性について証明するのでYの任意の開集合Oについてf^(-1)(O)がZの開集合であることを示そうと考えたのですが、fが任意なのでf^(-1)もどのような様子かわからず困っています。 以下、自分の回答を掲載します。間違えている点と、どのように考えるべきかを教えてください。 任意のx,y∈Zに対しf(x),f(y)が存在する。 Oは開集合なのであるε(>0)が存在し、 f(y)∈N(f(x);ε)⊂O ⇔ y∈f^(-1){N(f(x);ε)}⊂f^(-1)(O) ここまでです。よろしくお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

>Yの任意の開集合Oについてf^(-1)(O)がZの開集合であることを示そうと考えた これにそっていきますか。では次を使いましょう: 距離空間の部分集合Aが開集合である必要十分条件は、任意のAの元aに対して、ある正の数ε>0が存在し aを中心とするε-ball B(a:ε)がAに含まれることである。 (元の問題に戻って) 任意のf^(-1)(O)の元をxとしましょう。B(x:ε)⊂f^(-1)(O)となるような、ε>0が選べればOkです。 以下はヒントです:εを十分小さくとればB(x:ε)={x}となるはずです、、、。(その理由を示せば証明終わりです)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 εを取るだけでよかったんですね^^ 連続の定義をε-δで初めに勉強したので任意の写像に対しても「解析的に逆算できるのでは。」と考えていました。

関連するQ&A

  • ユークリッド平面と連続開写像

    「fをユークリッド平面R2から実数直線R1への写像としてつぎのように定める。R2∋X=<x1,x2>に対して、f(x)=x1 このとき、fはR2からR1への連続開写像であることを証明せよ。」 以下のような流れで証明できて合っていますでしょうか? また、もっと違う方法、簡単な方法はありますでしょうか? 宜しくお願いします。 ------------------------------------------------------- X(x1,x2)とY(y1,y2)の距離d(ユークリッド空間R2の距離)は d(X,Y)=√{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2} f(X)とf(Y)の距離d(ユークリッド空間R1の距離)は d(f(X),f(Y))=√(x1-y1)^2 そうだとすると √(x1-y1)^2 <= √{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2} だから ∀ε>0,∃δ>0, d(X,Y) < δ=ε ⇒ d(f(X),f(Y)) <= d(X,Y) < ε fは連続である。 fによってR2の開集合はR1の開集合に写像されることは、連続性と同じ理由で明らか。 ∵Xの任意のε(X)近傍はf(X)のε(X)近傍の上に写像されるから、R2の開集合はR1の開集合に写像されることを意味していて、fは開写像である。 ∴fはR2からR1への連続開写像である。 ----------------------------------------------------------------

  • 位相による写像が連続かどうかの問題です。

    位相による写像が連続かどうかの問題です。 (X,Qx),(Y,Qy):位相空間 写像f:X→Yが連続 ⇔任意のU∈Qyに対して,f^-1(U)∈Qx―(1) R^m:m次元数空間 Q^(m):R^mの開集合全体のなす集合族 X=(R^m,Q^(m)) Y=(R^n,Q^(n)) とすると f:R^m→R^nが(1)の意味で連続 ⇔任意のx∈R^m,任意のε>0,δ(存在する)>0,s,t f(N(x,δ))⊂N(f(x),ε) を証明せよ。 わかる方いましたらどうかよろしくお願いいたします<(_ _)>

  • 有限集合からなる位相空間における写像の連続性

    ある位相空間Xから別の位相空間Yへの写像fが連続であるとは、Yの任意の開集合Oの逆像f^-1(O)が開集合であると定義されていると思いますが、この定義に従うと、有限集合に位相を入れた位相空間Xからの別の位相空間Yへの写像は、位相空間Xの集合が全部開集合となり、必ず連続になるのでしょうか。

  • 商写像の問題です

    商写像の問題です。 Z:整数全体の集合 複素平面C上の同値関係~を z~z'⇔z-z'∈Z 商集合Y=C/~と 射影p:C→Yを考える。 Yに商位相を導入し、位相空間とみなす。 (1)C上の写像 f(z)=c(z+i) (c∈C,i:複素数) に対し、写像g:Y→Yでp・f=g・pとなるものが存在するための係数cの条件を求めよ。 (2)(1)において写像gが存在するとき、gは連続であることを示せ。 pが連続かつ開写像といいたいのですが、どの条件からいえますか? Yに商位相を導入するだけでpは連続かつ開写像なんですか? (1)はfが連続となるための条件を求めると言い換えていいですよね?

  • 写像の問題です。よろしくお願いします。

    (1)2つの写像f:X→Y、g:Y→Zがある。g・fが全射ならばgは全射であるとする。ここでさらにgが単射であると仮定すればfも全射となることを証明せよ。 (2)自然数Nと零を合わせた集合N∪{0}から整数の集合Zへの写像で、全単射となるものを構成し、その理由を説明せよ。

  • 写像の証明問題です。よろしくお願いします。

    写像の問題です。よろしくお願いします。 (1)2つの写像f:X→Y、f:Y→Zがある。g・fが全射ならばgは全射であるとする。ここでさらにgが単射であると仮定すればfも全射となることを証明せよ。 (2)自然数Nと零を合わせた集合N∪{0}から整数の集合Zへの写像で、全単射となるものを構成し、その理由を説明せよ。

  • 写像の問題です。

    写像f:C→C f(z)=c(z+i) (c∈C) この写像が連続であると言いたいのですが、 任意のε>0に対し、ある0<δ<ε/max(1,|c|)がとれて、 任意にz,z'∈Cをとり、|z-z'|<δなら|f(z)-f(z')|=|c(z-z')|<|c|δ<ε となりfは連続である。 と示すだけでいいのですか? 複素平面なので、距離空間と同じ方法で証明してよいのか、開集合を考えて位相空間として証明しないといけないのかが分かりません… よろしくお願いします。

  • 連続写像について

    Xを位相空間とし、Rを1次元ユークリッド空間とする。写像f:X→Rが連続であることと、任意の開区間G=(a,b)(a<b)に対しf^(-1) (G)がXの開区間になることが同値であることを示してください。 よろしくお願いします。

  • 位相と連続

    何度か、このサイトで位相に関して質問をしている初学者です。 おかげさまをもちまして、理解が進んだと感じています。 さて位相の言葉を使うと、 「位相空間Yの開集合Vのfによる逆写像 f^{-1}(V)=UがXの開集合である場合、f : X→Y は連続」 などというと思いますが、この表現と通常のイメージでいうところの関数の連続/不連続とを対応させて理解を進めたいと思っています。 以下、1次元Euclid空間 X から 1次元Euclid空間 Y への写像 f : X→Yを考えます。 1)x=0でジャンプする関数(x=0で定義されている) : f(x)=x (x <= 0), f(x)=x+1 (x>0) この場合、たとえば (1/2, 3/2) のf による逆写像は f^{-1}((1/2, 3/2)) = [0, 1/2) となります。これは X の開集合ではないので、f(x)は不連続。 2)x=0でジャンプする関数(x=0で未定義): f(x)=x (x < 0), f(x)=x+1 (x>0) 【質問】 ●(1)の考え方、論証はこれで正しいでしょうか。 ●(2)を(1)のと同様の論理で考える場合、 「Yの下位集合 *** の f による逆写像 f^{-1}(***) が Xにおける開集合でないので、f は不連続」 となると思いますが、この場合 *** はどういった集合になり、どういう理屈で逆写像はXの開集合ではない、と結論付けられるのでしょうか。 (x=0で定義されていないので、Xの位相がいわゆる1次元Euclid位相ではない?) 以上、ご教示よろしくお願いします。

  • 開写像って、どんな写像ですか。

    開写像は、開集合を開集合へ写しますが、どんな写像といえるのでしょうか。 連続写像は「近くにあるものたちを近くに写す写像」ですよね。写像が全単射であれば、逆写像が連続写像であることと同値であるので、「遠くにあるものたちを遠くに写す写像」といえるような気がします。 位相の強弱を考えても、domainの開集合が多ければ、「近いものたち」が少なくなり連続写像になりやすく、domainの開集合が少なければ、「遠いものたち」が少なくなり開写像になりやすいため、直観にも合っていると思います。(恒等写像で、domainにtrivial topology、codomainにdiscrete topologyを入れる例など) (全単射だと開写像であることと閉写像であることは同値になるので、普通に考えると、これは閉写像のイメージかもしれません。) しかしながら、全単射でなければ、例えばRから円周への写像f(x)=exp(2πix)は開写像なので、上記のような解釈はできません。いったい、開写像とは、どういう写像なのでしょうか。 ご回答よろしくお願いします。