次の問題の解法を教えてください…

質問

0゜≦θ≦45° とし

f（θ）＝（sinθ）＾２+ a・sinθ・cosθ＝ ‐１

が異なる２つの解を持つときのaの範囲を求めよ

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

いろんな方法が考えられる。いずれにしても、2倍角は必要のようだ。

条件式は、2倍角を使うと、3-cos2θ＋a・sin2θ＝0　である。

(解法-1)
tanθ＝αとすると、0≦α≦1　で　cos2θ＝(1-α＾2)/(1＋α＾2)、sin2θ＝(2α)/(1＋α＾2)だから　←　これは教科書に載ってるはず　これを代入して整理すると。
2α＾2＋aα＋1＝0　が　0≦α≦1に異なる2つの解を持つ条件を求める。(tanθとαは0゜≦θ≦45°で1対1に対応する。)
方程式の　解の配置で考えても良いし、2α＾2＋1＝-aαとして、y＝2α＾2＋1　と　y＝-aαが0≦α≦1に異なる2つの解を持つ条件をグラフから求めても良い。

(解法-2)こっちの方法が、お勧めなんだが。
3-cos2θ＋a・sin2θ＝0　において、cos2θ＝β、sin2θ＝α　とすると、α＾2＋β＾2＝1、α≧0、β≧0　‥‥(1)　の条件で、直線：β＝a・α＋3　が2つの異なる交点を持つ条件を求める。
(1)をαβ平面上に図示して、直線：β＝a・α＋3　の傾きaの値の範囲を定めるだけ。
これのほうが、視覚的にミスを防げるし、分かりやすいだろう。

答えは、どちらの解法でも(当然だが)　-3≦a＜-2√2　になる。

お礼

ありがとうございます

よくわかりました

学校で解答をもらったところ
　f(θ)＝（sinθ）＾２+ a・sinθ・cosθ＋１＝０
の両辺に　１/cos＾２θをかけて
tanの式で求めるように書いてあったのですが
こっちの方がわかりやすいですね

回答No.2

hrsmmhr

asinθcosθ=-1-sin^2θ
a/2sin2θ=-1-1/2+1/2(1-2sin^2θ)
=-3/2+1/2cos2θ
asin2θ-cos2θ=-3
√(a^2+1)sin(2θ-φ)=-3 (φはsinφ=-1/√(a^2+1),cosφ=a/√(a^2+1)なるφ)
よって-1<=-3/√(a^2+1)<=1をaは満たすが
一方でθの範囲内に二つの解を持たなければならないから
2θ-φ<=π/2<=2θ-φ+π/2かつsin(2θ-φ+π/2)=cos(2θ-φ)<=sin(2θ-φ)=-3/√(a^2+1)
または
2θ-φ<=-π/2<=2θ-φ+π/2かつsin(2θ-φ+π/2)=cos(2θ-φ)>=sin(2θ-φ)=-3/√(a^2+1)
sin(2θ-φ)が負より後者しかなく
cos(2θ-φ)=-√(a^2-8)/√(a^2+1)で
-√(a^2-8)/√(a^2+1)>=-3/√(a^2+1)
…

お礼

ありがとうございます
難しいです・・・

まだ数学Iの問題だったので

回答No.1

spring135

0<θ≦π/4において
a=-[1+(sinθ)^2]/sinθ・cosθ

da/dθ=-[3(sinθ)^2-1]/(sinθ・cosθ)^2

α=arcsin(1/√3）とおくと

θの関数としてのaは

θ→0で-∞
0<θ<αで増加
θ＝αで最大値-2√2
α<θ≦π/4で減少
θ=π/4で-3

必ずグラフを描くこと

答え

f(θ)=-1が異なる2つの解をもつのは

-3≦a<-2√2

お礼

ありがとうございます
難しいです・・・

まだ数学Iの問題だったので