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数学IIの問題・三角関数
xの2次方程式、x^2-2xsinθ-3cosθ/2=0の2つのがともに正になるθの値の範囲を求めよ。ただし、0≦θ<2πとする f(x)=(x-sinθ)^2-sinθ^2-3cosθ/2として、2つの解が正になればよいので、軸>0、f(0)>0、f(sinθ)≦0という所まで解きましたが、その後がさっぱり進みません。計算方法と解答を宜しくお願いします。
- sorano_yukito
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この二次方程式の二つの解をｐおよびｑとすると、この方程式は （ｘ－ｐ）（ｘ－ｑ）＝０ であり、展開すると ｘ＾２－（ｐ＋ｑ）ｘ＋ｐｑ＝０ です。ここでｐ、ｑがともに正であれば、 ｐｑ＞０ かつ ｐ＋ｑ＞０ です。これを元の方程式と比較すると、 ３ｃｏｓΘ／２＜０ かつ ２ｓｉｎΘ＞０ これを解いて下さい。 で、質問文にある解き方ですが、 ｆ（０）＝－３ｃｏｓΘ／２ なので、ｆ（０）＞０ は ３ｃｏｓΘ／２＜０ と同じですね。 また、軸＞０ は ｓｉｎΘ＞０ ですね。 そしてｆ（ｓｉｎΘ）は頂点のｙ座標がゼロ以下、つまり実数解を もつ条件ですね。 ｆ（ｓｉｎΘ）＝－（ｓｉｎΘ）＾２－３ｃｏｓΘ／２ ＝－１＋（ｃｏｓΘ）＾２－３ｃｏｓΘ／２ ＝（ｃｏｓΘー２）（ｃｏｓΘ＋１／２）＜＝０ 以上の三つの不等式を解けばΘの範囲が出ます。 別解として この二次方程式の二つの解をｐおよびｑとすると、この方程式は （ｘ－ｐ）（ｘ－ｑ）＝０ であり、展開すると ｘ＾２－（ｐ＋ｑ）ｘ＋ｐｑ＝０ です。ここでｐ、ｑがともに正であれば、 ｐｑ＞０ かつ ｐ＋ｑ＞０ です。これを元の方程式と比較すると、 ３ｃｏｓΘ／２＜０ かつ ２ｓｉｎΘ＞０ これに実数解を持つ条件（ｆ（ｓｉｎΘ）＜＝０） をプラスすると同じ 結果になります。
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- mnakauye
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こんにちは。 回答１の方の質問にお答えが無いのですが、 3cosθ/2 は 3cos(θ/2)だろうとしてとくと、該当する解が存在しないことになりますので、 （3/2)cosθ として解きます。 方針はあなたのやっているとおりで良いでしょう。 さて、まず 軸>0 から sinθ＞０・・・(1) f(0)>0 から ー（3/2)cosθ＞０ ・・・(2) そして、f(sinθ)≦0 から、-(sinθ)^2-(3/2)cosθ≦0 ・・・(3) ですね。、 (2)から、cosθ＜０ (4) また(3)は、公式 （sinθ)^2+(cosθ)^2＝１ を使って、 －（１ー（cosθ)^2）-(3/2)cosθ≦0 cosθ＝Aとおくと A^2-(3/2)A－１≦0 ２A^2-3A－２≦0 因数分解して、（２A+1）（A-2）≦0 つまり -1/2 ≦ A ≦ ２ -1 ≦ A ≦ １であるから -1/2 ≦ A ≦ １・・・(5) 以上まとめると、 (4)と(5)から -1/2 ≦ cosθ＜０ sinθ＞０・・・(1) これを満たす θ は、 0≦θ<2π では （2/3)π ≦ θ <（1/2）π (図の単位円を参照) なお、 3cosθ/2 は 3cos(θ/2)としてとくと、 f(sinθ)≦0 をみたす θ が無くなり、2次方程式は条件に合う解は持たないことになります。 （そもそも実数解を持たないことになる） もう一度計算してみますが・・・・・・
- spring135
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3cosθ/2は (3/2)cos(θ)ですか、3cos(θ/2)ですか。
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