数学IIBの三角関数と二次関数の交じった問題

質問

θの方程式 sin^2θ+αcosθ-2α-1=0 を満たすθがあるような定数αの値の範囲を求めよ。
という問題です。
模範解答では
f(x)=sin^2θ+αcosθ-2α-1 cosθ=xと置くと
=x^2-αx+2α （-1≦x≦1）

ここで模範解答では以下のような場合分けをしていました。
【1】放物線y=f(x)が -1<x<1の範囲で、x軸と異なる2点で交わる、または接する。
【2】放物線y=f(x)が -1<x<1の範囲で、x軸とただ1点で交わり、他の一点は x<-1 , 1<xの範囲にある。
【3】放物線y=f(x)がx軸と x=-1 または x=1 で交わる。

答えは -1≦α≦0 です。

「-1<x<1 の範囲で異なる2点で交わる」「-1<x<1 の範囲で1点で交わる」「-1<x<1の範囲で接する」「x=-1 または x=1 で交わる」
のはありますが
「x=-1 または x=1 で接する」というのはありません。これはいらないのですか?

また、もっと分かりやすい場合の分け方はないでしょうか?

教えてください。

回答No.2

Sun rise たかひろ（@yasoukyoku415） · ベストアンサー

この問題、かなりいいやり方があります。

x^2-αx+2α =0（-1≦x≦1）で解を持つようなaの範囲を求めよまでは同じで。

x^2=ax-2aと移行します。
この形にすれば「x^2」と「ax-2a」の交点を求める問題に見方を変えれます。もちろん「-1≦ｘ≦1」の範囲で。
考え方は簡単で、まず式を分解
f(x)=x^2
g(x)=ax-2a
aの値を変化させて、-1≦ｘ≦1の間で交点が少なくても一個あるようなaの範囲を考えればOKです。
これによってｆ（ｘ）は動かなく出来るのでかなり考えやすいです。
ｇ（ｘ）を少し変形します。
g(x)=a(x-2)
これの意味することはかなり大きいです。
ｇ（ｘ）はaの値によらず必ず（2,0）を通るということになります。
【証明】-------------------------------------------------------
ｇ（ｘ）のｙじくとの交点
ｙ＝0のとき
a（ｘ-2）＝0
ｘ＝2
よって、ｇ（ｘ）とｙ軸の交点はaの値によらず（2,0）
-------------------------------------------------------------------
ここまできたらさくさくです。
図を見てください。
このように（2,0）を固定して、ｇ（ｘ）の傾きを操作します。
すると、傾きが-1から0の間でしか、-1≦ｘ≦1の間で解を持つことが出来ないのが
明白にわかりますね。
よって
-1≦a≦0
となるわけです。

お礼

皆さま回答ありがとうございました。

回答No.4

info22_

>もっと分かりやすい場合の分け方はないでしょうか?

>f(x)=x^2-αx+2α=0 （-1≦x≦1）
これをαについて解くと
α(x-2)=x^2
縦軸をα、横軸をxにとって-1≦x≦1の範囲でαの値域を調べればよい。
明らかにx≠2なので(x-2)で割って
α=x^2/(x-2)=x+2+4/(x-2)
このグラフを描くと添付図のようになりxの存在領域（θが存在するxの範囲）、
つまりxの変域:-1≦x≦1に対して
αの値域：-1≦α≦0となることが分かる。
等号α=-1の時はx=1,α=0の時はx=0

この方法だと場合分けが必要ないですね。

回答No.3

noname#157574

＞数学IIBの三角関数と二次関数の交じった問題
　数学IIBという科目は現在はありません。またこの文において，交じったは混じったの誤りです。以後誤字に注意しましょう。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
テストの季節なのか、似たような質問が結構続きますね。＾＾
以下の質問も三角関数と 2次関数の問題についてですので、参考に。
http://okwave.jp/qa/q6356727.html

＞「x=-1 または x=1 で接する」というのはありません。これはいらないのですか?
「結果・結論としていらない」というのが、妥当かと思います。
接するときのαの値と重解を求めて見ると、x＝ 1, x＝ -1といった重解はないことがわかります。
ですので、模範解答上では書かれていないだけだと。
逆にいえば、「いらないのですか？」という疑問は非常に大事なことですし、よく考えていると思います。＾＾

＞また、もっと分かりやすい場合の分け方はないでしょうか?
2次関数では、次の 3点がポイントになります。
「軸」「頂点の y座標（判別式）」「xの境界での値」

模範解答では触れられていないようですが、
「軸」をキーとして場合分けを考える方法もあると思います。
いまの問題であれば、
・軸が -1≦ x≦ 1の範囲に「ある」とき
・軸が -1≦ x≦ 1の範囲に「ない」とき

のそれぞれについて -1≦ x≦ 1なる解が存在するための条件を探っていきます。

その条件を探るときに、
「逆に、-1≦ x≦ 1なる解が存在しないのはどういうときだろう？」
と考えてみるのも一つの方法です。
添付の図で描いたグラフは「解が存在しないとき」の例をいくつか挙げたものです。

自分で考えられるグラフをいろいろと描いてみて（フリーハンドでいいので）、
軸の位置など、そこに表れてくる「特徴」を観察してみてください。
その「特徴」が、条件となって組み合わされることになります。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6356727.html