継続率の変化する平均連荘数の計算式について

質問

継続率の変化する平均連荘数の計算式について
方程式がでてこなく困っています。
ご教授頂けますと幸いです。

詳細は下記となります。

■概要
A～Eの枠でA～D全てに違う継続率が埋め込まれており、Eに転落したら終了とします。
Aから始まりA枠で継続しなかったら、B～Eのいづれかに転落する抽選を行います。

各枠の枠移行率は下記の通りです。
--A---B---C---D---E
A：80％ ５％ ５％ ５％ ５％
B：----20％70％ ５％ ５％
C：--------80％ ５％ ５％
D：------------20％ 80％
E：-----------------終了

この場合、各枠に滞在している時、
AとCが平均連荘数「5」
BとDが平均連荘数「1.25」
となりますが、AからEにいきなり転落する確率があるので、
平均連荘数のアベレージを出しても、
上記の平均連荘数を出せないと思っております。

何か良い方程式をエクセルの計算で出来る方法でご教授下さい。

回答No.7

noname#181872

はじめの条件（移行率）のときだけΣがうまく計算できて、移行率を変えると
同じように過大評価した結果になるということが起きるのが信じられないのですが…
はじめの条件のときも同じような結果が起きるとか、移行率を変えて計算させると
Σが規則性をもたずに変化するというのならまだありうると思います。

まあいずれにしても計算間違いでしょう。
こちらでは移行率を変えてもΣは1になりますので。

回答No.6

noname#181872

> Σの計算式がうまくいきませんので、追加補足して頂けますでしょうか。

それぞれの計算をどのように行っているかを文章で書かれても、
それが正しくExcelで表現できているかを確認できないので
なんとも答えられません。

いろいろな確率のパターンで計算させても（n-1のEの総和）の数値分だけ
多く総和が出てきますか？

補足

ご回答ありがとうございます。

>いろいろな確率のパターンで計算させても（n-1のEの総和）の数値分だけ
>多く総和が出てきますか？

はい。出てきてしまいます。
Σの項目の計算式ではなく、途中の計算式が違うような気がしています。
かなり簡単に説明頂いていると存じますが、すみません。。。

回答No.5

alice_44

エクセルは止めとこう。
σ についての一次方程式 (E - M)^2 σ = (2E - M) μ は、
(E - M)^2 が三角行列であることから、代入法で直ぐ解ける。

お礼

補足ありがとうございます。

エクセルでの計算を行っている為、上記方程式で計算をしようとすると理解ができませんでした。。
本当にお手間取らせて申し訳ございません。

回答No.4

alice_44

A No.1 の方針で…

5×5 の行列 M を、M =
　　0.80　　0.05　　0.05　　0.05　　0.05　
　　0.00　　0.20　　0.70　　0.05　　0.05
　　0.00　　0.00　　0.80　　0.05　　0.05
　　0.00　　0.00　　0.00　　0.20　　0.80
　　0.00　　0.00　　0.00　　0.00　　0.00
と置きます。
A No.2 に言われている如く第 3 行は訂正すること。

n 回変化した時の枠移行率は行列の冪乗 M^n で表され、
その第 1 行 5 列成分が、n 回目に枠 E になる確率を表します。
よって、n 回目に枠 E になるその n の期待値は、
Σ[n=1…∞] n M^n の第 1 行 5 列成分です。

S[m] = Σ[n=1…m] n M^n と置くと、
S[m+1] - M S[m] = M + Σ[n=1…m] M^n = M + M{ E - M^(m+1) }(E - M)^-1.
m→∞ の極限をとって、(E - M) S[∞] = M + M(E - M)^-1.

　　lim[m→∞] M^m = O となるのは、M が対角化可能かつ
　　固有値の絶対値が 1 未満だからです。
　　また、E - M が固有値 0 を持たないことより、
　　(E - M)^-1 が存在することも判ります。

更に変形して (E - M)^2 S[∞] = (E - M)M + M = (2E - M)M より、
M と S[∞] の第 5 列をそれぞれ μ, σ と置けば
(E - M)^2 σ = (2E - M) μ.　この一次方程式を解いて、
ベクトルσ(の第 1 成分)を求めればよい訳です。

エクセルを使うなら、ここでゴールシークかな？

お礼

ご回答ありがとうございます。

分かりやすい方程式だと思うのですが、自分の知識がついていっていません・・

どこから理解していけば、エクセルでの計算式を導きだせるでしょうか。
ご教授頂けますと幸いです。

回答No.3

noname#181872

すみません。最後のほうで訂正を。

> (n-1)回目で終了してしまった確率の総和は1になるはずです。

(n-1)回目”まで”で終了してしまった確率の総和は1になるはずです。
の間違いです。

お礼

補足ありがとうございます。

補足

Σの計算式がうまくいきませんので、追加補足して頂けますでしょうか。

現在、私が行っている計算式が下記となります。

（n-1のEの総和）+E_n+SUM(A:D)

サンプルで出した表の確率で上記計算をするとΣは1となるのですが、
継続率を変えただけのオリジナルの確率表にてまったく同じ計算をすると、
（n-1のEの総和）の数値分だけ多く総和が出てきてしまいます。？？

そもそも、Σの計算式が違うのでしょうか。

n連荘目での確率数値は
掲載して頂いた画像通りの数値が出ている計算式で計算しています。

ちなみにEの総和の計算式は下記となります。

（n-1のEの総和）+E_n

度々恐縮ですが、ご教授頂けませんでしょうか。

回答No.2

noname#181872

回答に行く前に、Cの移行率の総和が100%にならないのでご確認ください。

で、移行率が分かっていれば、n回目にBにいる確率などは計算で求められますよね。
たとえば、1回目ではAに100%で、その他は0%、
　　　　　2回目は　Aに80%でその他が5%ずつ、といった感じで。
これをExcelに計算させれば良いかと思います。

そして求める期待値（平均連荘数）ですが、Eに転落すれば終了なのですから、
n回目でEに落ちる確率をE_nとしたとき、Σn×E_nで表せます。

なので、各回数連荘しているときに各枠にいる確率を示した添付のような表を作り、
Σn×E_nを求めればよいかと思います。
このとき、nをひたすら大きくすれば、n×E_nがだんだん小さくなり、Σを取っても
無視できるレベルまで小さくなるので、そのときの和が答えになるかと思います。

なお、この表では、CからD、CからEの移行率をそれぞれ10%としています。
また、n回連荘した場合、n回目に各枠にいる確率と
(n-1)回目で終了してしまった確率の総和は1になるはずです。
なのでEの総和の行で(n-1)回目の連荘でEに転落してしまった確率と
n回目の連荘でEに転落した確率を足し合わせ、これにA～Dの確率を
足し合わせることで計算間違いをしていないかチェックをしています。

お礼

ご回答ありがとうございます。
非常に分かりやすいご回答でエクセルシートまでつけて頂いてありがとうございます。

自分の知識不足でまだ理解できていない状態です。
今紐解いている最中ですが、エクセルシートの計算式を入れていますが総和がうまく合いません。。
もう少し頑張ってみようと思います。

回答No.1

Tacosan

マルコフ過程?

お礼

ご回答ありがとうございます。
マルコフ過程も知らなかったので勉強させて頂きます。