ヤング率測定実験における尺度変化の平均値の算出法について

質問

先日ユーイングの装置を使ったヤング率の測定実験を行ったのですが、
おもりの増加・減少による試験棒(鉄)のたわみの大きさの尺度変化の平均値を求める計算で
その計算法は増減重による尺度変化の平均がそれぞれa(初期状態)、b、c、d、e、fであるのに対してd-a、e-b、f-cの平均値を求めるというものでした。
何故a、b、c、d、e、fを足して５で割るという方法ではなくわざわざこのようなやり方をしたのでしょうか。
調べてみるとd-a、e-b、f-cはそれぞれ「おもりの質量の中央値に対する変化」らしいのですがどういうことかわかりません。
解説や考えるヒントを教えて下さい。

回答No.2

Umada · ベストアンサー

言われてみると「なあんだ」ということになるかと思います。
あと一つ確認なのですが、a～fはたわみの読みそのものなのかその差分なのか質問文ではっきりしません。もし直接の読みだとすると、a～fを足して5で割って得られた数字には物理的な意味がないことになります。直接の読みでなく差分であればd-a, e-b, f-cを作って平均するとほとんどゼロになってしまいます。念のためご確認下さい。

以下は本サイトで、以前に私が類似の質問に答えた内容を再編集したものです。

さておもりを全く乗せないときのたわみ量をy[0]、一つ乗せたときのそれをy[1]、以下n個乗せたときのそれをy[n]とします。

最初のおもりを乗せたときのたわみ量の増分は
y[1]-y[0]　　　(1)
次のおもりを乗せたときの増分は
y[2]-y[1]　　　(2)
その次のおもりについては順に
y[3]-y[2]　　　(3)
y[4]-y[3]　　　(4)
となります。
sumosb004さんの実験では5個までおもりを乗せていますから、増分の最後は
y[5]-y[4]　　　(5)
となります。

さて200gのおもりに対するたわみ量のデータが5つ得られましたので、これを平均してみましょう。(1)～(5)を足して5で割ればよさそうなのですが・・・
{y[1]-y[0]+y[2]-y[1]+y[3]-y[2]+y[4]-y[3]+y[5]-y[4]}÷5
={y[5]-y[0]}÷5　　　(6)
となって、実際に活用されているデータはy[5]とy[0]だけ、すなわち2点だけで平均を取っていることになってしまいます。y[1]～y[4]はせっかくデータを取ったのに計算に入ってきていません。

これは差分データを取って最後に平均するときにしばしば遭遇する落とし穴です。
ではどうすればよいのかというと以下のようにやります。データは加算か減算かで1回だけ使い、差し引きでデータが消えてしまわないようにするのです。

今回はおもりを5個乗せていますから、y[0]～y[5]までの6つのデータがあります。それを上半分(y[5]～y[3])と下半分(y[2]～y[0])の2グループに分け、以下のように組み合わせて
y[5]-y[2]　　　(7)
y[4]-y[1]　　　(8)
y[3]-y[0]　　　(9)
の3つの差分を作ります。いずれもおもり3個分に対するたわみ量の増分に相当し、sumosb004さんのおっしゃるd-a, e-b, f-cに(おそらく)対応します。これを図的に表すと下のようになります。(等幅フォントでご覧下さい)

y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5]
─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
　　　　　┗━━━━━┛→(7)
　　　┗━━━━━┛→(8)
　┗━━━━━┛→(9)

(7)～(9)を足して平均をします。この平均は
(y[5]-y[2]+y[4]-y[1]+y[3]-y[0])÷3　　　(10)
ですから、(6)のように差し引きで消えてしまうことはありません。ただし(10)はおもり3個分に対する歪みの増分ですから、おもり1個分に換算するにはさらに3で割って下さい。

あとは計算式に当てはめればヤング率を求めることができます。
またNo.1で「線形性からのずれ」の指摘がありますが、上記の説明を読めばそれはせいぜい副次的な問題でしかないこともお分かりかと思います。

参考URLのページなどもぜひ読んでみて下さい。
http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/young/exp1.htm

参考URL：

http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/young/exp1.htm

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。たいへん参考になりました。
たしかに‘ああ言われてみれば’という理由ですね。

回答No.3

First_Noel

＃２さま：
＞またNo.1で「線形性からのずれ」の指摘があります＞が、上記の説明を読めばそれはせいぜい副次的な問＞題でしかないこともお分かりかと思います。

とありますが，ではなぜそもそもａ～ｆのデータを取るのか？と言うことです．
明らかにこれは，線形性からのずれを意識した測定です．
即ち，
「なぜこういう測定法をするのか？」に対する回答，
「なぜこういうデータ解析法をするのか？」に対する回答と言うことです．

回答No.1

First_Noel

弾性変形の範囲内であっても，線形性は理想的な仮定のものだからでしょう．
また，測定系の０点のずれの影響をなくすためでもあるでしょう．
（０点のずれをΔ，測定値をａ＋Δ，ｄ＋Δとすれば，
　ａ＋Δ－（ｄ＋Δ）＝ａ－ｄとなり，Δが相殺される．）

お礼

ありがとうございます。
No.2さんの解説の冒頭部分を読んで気づいたのですが、
質問の『何故a、b、c、d、e、fを足して５で割るという方法ではなく～』という文は自分の導きたいことを忘れた見当違いな文章でした。
この文はa、b、c、d、e、fの個々の数値を平均することを目的にしていますが、本来の目標は個々の数値の差の平均でした。
そう考えるとNo.1さんの説明の誤差解消のためというのは『ａ＋Δ－（ｄ＋Δ）＝ａ－ｄ』でなく「ａ＋Δ－（b＋Δ）＝ａ－b」でも成り立つということになってしまいます。

この場を借りて訂正します。わかりにくいことを言ってすみませんでした。